Геодезические потоки инвариантных метрик на однородных пространствах групп Ли

• Автор: Логачев, Александр Александрович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 100 с.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение (постановка задачи, обзор литературы и формулировка полученных результатов)
Часть 1 Потоки геодезических инвариантных метрик на однородных пространствах 3-мерных групп Ли

1.1 Равномерные решетки Г в трехмерных группах Ли С

1.2 Интегрируемость потоков геодезических на однородных пространствах групп Кк12

1.3 Топологическая энтропия геодезических потоков на Т*ГС и

их неитегрируемость в случае С — 8Ь(2, К)

Часть 2 Четырехмерные группы Ли и потоки геодезических на их однородных пространствах

2.1 Равномерные решетки в 4-мерных группах Ли

2.2 Левоинвариантные метрики и соответствующие геодезические

потоки
2.3 Интегрируемость геодезических потоков на Т*Г(Т
2.3.1 Интегралы движения геодезических потоков
2.3.2 Интегрируемость геодезических потоков на Т*Г<3 в случае разрешимых групп С

2.3.3 Многозначная интегрируемость и неинтегрируемость по
Батлеру
2.4 Топологическая энтропия геодезических потоков на Т”Т(7 и
их неинтегрируемость в случае полупростой С симметрий ... 85 Список литературы
ВВЕДЕНИЕ
Изучение вопроса о лиувиллевой интегрируемости гамильтоновых систем, и в частности геодезических потоков, имеет давнюю историю. Интегрируемость означает, что существует максимальный набор функционально независимых интегралов движения, попарные скобки Пуассона которых обращаются в нуль. Одним из наиболее известных примеров интегрируемых систем является геодезический поток инвариантной метрики на 5'0(3), связанный с задачей о вращении твердого тела; эта задача впервые была рассмотрена Эйлером в 1758 году (см. [24]). В связи с появлением метода (Ь, А)-пары в теории гамильтоновых систем, список интегрируемых геодезических потоков был существенно расширен (см. [14,15]). Полная классификация вполне интегрируемых О-инвариантных гамильтоновых систем с транзитивной простой группой Ли С конфигурационных симметрий получена И. В. Микитюком и А. М. Степиным (см. семинар им. И. Г. Петровского и [34]). Динамические системы, исследованные в упомянутых выше работах, обладают полным ин-волютивным набором аналитических интегралов движения.
Проблема топологических препятствий к интегрируемости была поставлена В. В. Козловым; он также обнаружил первое известное препятствие, доказав, что если на ориентированном замкнутом двумерном многообразии существует аналитически интегрируемый геодезический поток, то это многообразие гомеоморфно либо сфере В2, либо тору Т2 (см. [6,7]). Как было показано

Случай
( 1 0 0N
A(q,p) = Py Px
w КУ
получаем условие pxH'Pz = 0. Случай
f 1 0 0
A{q,p) = 2Px 2py
К H'J
получаем PyH'Pz = 0. □
Для построения полного набора интегралов на T*TG найдем фундаментальные области для действия Г в линейной оболочке интегралов движения, для этого запишем как элемент 7 — (жо, уо, zq) € Г действует на интегралах. Функция Гамильтона инвариантна по построению, а инвариантность I2 следует из (1.13) на стр. 33, (1.14) на стр. 33 и (1.15) на стр. 33, поэтому мы не будем их рассматривать.
В случае
7(А) = l{Py) =Ру~ х0Pz = h ~ xoh-
В случае
7 (h) = 7 (Рх) = e~z°Px = e~Zah.
В случае
7(Ii) = 7(рх) = cos (2irzo)px + sin (2ttz0)py;
7 (Py) = - sin (2тг zQ)px + cos (2TTZ0)py.