Полиномиальные интегралы геодезических потоков на компактных поверхностях

• Автор: Колокольцов, Василий Никитич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 97 c. : ил

ГЛАВА I. ЛОКАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ ПО ИМПУЛЬСАМ ИНТЕГРАЛОВ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ ДЛЯ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА АНАЛИТИЧЕСКОЙ НЕИНТЕГРИРУЕМОСТЙ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ПОТОКОВ НА КОМПАКТНЫХ МНОГООБРАЗИЯХ РОДА %>1 § I. Голоморфная 1-форма полиномиального по скоростям интеграла

§ 2. Топологические препятствия к интегрируемости

геодезических потоков

§ 3. Квадратичные по скоростям интегралы

Глава II. ОПИСАНИЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ПОТОКОВ ДВУМЕРНОЙ СФЕРЫ И ТОРА С ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМ КВАДРАТИЧНЫМ ПО СКОРОСТЯМ ИНТЕГРАЛОМ

§ I. Свойства определяющего многочлена

§ 2. Основная теорема. Классические примеры

§ 3. Теорема единственности геодезического потока с двумя дополнительными квадратичными интегралами
Глава III. НОВЫЕ ПРИМЕРЫ РИМАНОВЫХ МЕТРИК НА $а С ЗАМКНУТЫМИ ГЕОДЕЗИЧЕСКИМИ § I. Геометрия геодезического потока с дополнительным квадратичным интегралом. Условие
замкнутости

§ 2. Построение решений

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

В этой работе исследуются вопросы, связанные с полной интегрируемостью гамильтоновых систем с двумя степенями свободы.
Гамильтонова система с Ю степенями свободы называется вполне интегрируемой, если существует щ независимых интегралов движения этой системы, коммутирующих относительно скобки Пуассона.
Методы, применяемые при исследовании вопроса о существовании интегралов движения (в частности, полного инволютивного набора интегралов), определяются выбором того функционального класса, в котором разыскиваются интегралы. В соответствии с этим говорят об аналитической или гладкой интегрируемости (или неинтегрируемости) гамильтоновых систем.
Эффективные методы, восходящие к работам Пуанкаре [ I ] , развиты для обнаружения аналитической неинтегрируемости (см. [2] )• В.М.Алексеев Сз7отметил связь аналитической неинтегрируемости и существования топологически транзитивного гиперболического множества в фазовом пространстве системы. В.В.Козлов [4] доказал, что в сис теме, описывающей движение тяжелого твердого тепа, имеет место эффект расщепления сепаратрис и, как следствие, аналитическая, неинтегрируе-мость. Говоря о гладкой неинтегрируемости, следует отметить работу Маркуса и Мейера [5] , в которой для системы с двумя степенями свободы типичность гладкой неинтегрируемости,доказана с использованием теории возмущений условно периодических движений Колмогорова, Арнольда и Мозера. Алгебраическим конструкциям аналитически: интегрируемых систем посвящён обзор [б ]
В случав, когда фазовое пространство системы представляет собой кокасательное расслоение конфигурационного многообразия, с различных точек зрения (см. [7]) представляет интерес изучение гамильтоновых систем, имеющих полиномиальные по импульсам интегралы движения. Так, многочисленные примеры гамильтоновых систем, интегрируемых методом

лаксовой пары, принадлежат этому классу. Динамические системы с тремя степенями свободы, имеющие дополнительный квадратичный по импульсам интеграл, находят применения к проблемам, касающимся эволюции звездных систем [ 8 ] . Описание потенциалов взаимодействия V, для которых система частиц на прямой с гамильтонианом
Н-- { 2, /о- *21 I
имеет независимый с энергией полиномиальный по импульсам интеграл в общем положении, дано в работе [9 ]
Простейшим полиномиальным интегралом является линейный по импульсам интеграл, который, как известно (см., например, [10]), существует тогда и только тогда, когда гамильтониан выдерживает однопараметрическую группу симметрий конфигурационного многообразия. Простой и эффективный критерий существования локального линейного интеграла у геодезического потока, определяемого римановой метрикой на двумерном многообразии, дает теорема Бьянки (см. [ ЮЛ ): геодезический поток двумерной метрики имеет линейный по импульсам интеграл в том и только том случав, когда гауссова кривизна этой метрики и модуль ее градиента являются функционально зависимыми функциями на конфигурационном многообразии.
Квадратичные по импульсам интегралы, которым в настоящей работе уделено особое внимание, возникают, обычно, при интегрировании гамильтоновых систем методом разделения переменных (см. [II] или [12] ) По теореме Штеккеля натуральная система в кокасательном расслоении Т* 1/ открытого подмножества и в (Р.* , задаваемая "ортогональным" гамильтонианом тогда и только тогда
допускает полное интегрирование уравнения Гамильтона - Якоби методом разделения переменных, когда Н имеет т.н. штеккелеву форму, то есть когда существует такая функциональная матрица (иКП1) > К -ая строчка которой состоит из функций от переменной
Доказательство. Поскольку ОС у*г+'2 +^у,е+'3 и ос У*
делится на ос * + , то утверждение про четные уп следует из
того, что ост и у м на эсг + у* не д0Пятся. Если же м- 2к + 7 то тождество
их** а ос”-* (х*+уа)-у* (ах"-*
сводит доказательство к очевидной индукции по к
Поскольку возникающие в разложении -£(х) +■ Ь(у) многочлены имеют как раз вид а эс " + ву , то отсюда следует
Лемма II. Необходимым условием непрерывной дифференцируемости построенных выше метрик до порядка т является выполнение следующих равенств на производные функций ^ и Л до порядка т+ 2 : для любых целых К1 , К2
Доказательство следует из вышеизложенного, если применить приведенные рассуждения одновременно для точек оо .
Покажем теперь, что выполнение равенств (I) при всех п £ О
является также и достаточным условием для С°° гладкости соответствующих метрик. Для этого понадобится Лемма 12. Многочлены вида