Процедуры построения монотонных сингулярных функций и асимптотики их преобразований Фурье-Стилтьеса

• Автор: Быстрицкий, Владимир Дмитриевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Нижний Новгород
• Количество страниц: 95 с.

Оглавление
Введение
Глава 1. Сингулярные функции Кантора-Лебега и Салема. Метод сгущения особенностей
§ 1.1 Конструкция функции Лебега и ее обобщения
§1.2 Конструкция функции Салема
§ 1.3 Метод сгущения особенностей
Глава 2. Сингулярные функции как функции распределения рядов со случайной растановкой знаков
§2.1 Сингулярные функции канторовского типа, порождаемые рядами со случайной расстановкой знаков
§2.2 Сингулярные строго монотонно возрастающие функции, порождаемые рядами со случайной расстановкой знаков
Глава 3. Исследование стохастических систем, порождающих строго монотонные сингулярные функции
§3.1 Независимый, равнораспределенный, неравновероятный случай 54 §3.2 Случай простой однородной марковской зависимости
Глава 4. Асимптотики преобразования Фурье-Стилтьеса
§4.1 Введение. Асимптотическое поведение преобразования Фурье-
Стилтьеса на мнимой оси
§ 4.2 Интегральная асимптотика на действительной оси
Литература.

Введение
Сингулярные функции, равно как и сингулярные меры считаются экзотическим математическим объектом, несмотря на их полноправное участие в разложении Лебега функции ограниченной вариации на три составляющих (см. [8]).
Сингулярные функции обычно ассоциируются с функциями типа кан-торовской лестницы, для которых множество точек роста имеет лебегову меру нуль. Однако существует широкий класс сингулярных функций, множество точек роста которых имеет положительную лебегову меру, например, сингулярные строго монотонно возрастающие функции, т.е. функции спектром которых является весь отрезок [и, Ь]. Первым примером сингулярной функции такого вида явилась функция Минковского [32] (см. так же [33]), достаточно полное исследование свойств которой, включая и доказательство сингулярности, было проведено А. Данжуа [29]. Другой пример приведен в книге Сакса [20, с. 155]. И, наконец, третий пример был построен Р. Салемом [33]. В книге Ф. Рисса, Б. Секефальви-Надя [15, с. 59] приведена несколько видоизмененная процедура построения этой функции. В ином контексте та же функция появляется в работе [28] в качестве решения одного функционального уравнения. Более подробно конструкция функции Салема, и связь ее с функциональными уравнениями описывается в параграфе 1.2.
Исследование сингулярных функций, долгое время не вызывало особого интереса, так как казалось, что нет практического применения функциям данного типа. В качестве подтверждения можно привести цитату из книги Лукача ([10]), которая была издана в 1979 г. "В приложениях мы почти всегда сталкиваемся либо с дискретными, либо с абсолютно непрерывными распределениями. Сингулярные распределения интересны с теоретической точки зрения, но едва ли встречаются в практической деятельности". Однако позднее появились работы, в которых указывается связь сингулярных функций (вероятностных распределений) с классической задачей теории вероятностей о разорении (см. [22]), а именно, показано, что вероятность выигрыша как функция от начального капитала при, так называемой стратегии смелой игры [26](см., также, [21, с. 187]), является сингулярной функцией Салема. Отсутствие прагматического интереса к сингулярным

функциям (мерам) привело к тому, что на данный момент известно всего несколько конструкций сингулярных функций. Функция Лебега [7], функция Минковского [32], функция Салема [33] и конструкция описанная в [20] образуют практически полный список имеющихся процедур построения сингулярных функций.
Тем не менее существуют классические задачи обобщения, которых приводит к необходимости получения конструкций сингулярных функций в удобном для изучения виде. Так, например, в теории преобразования Фурье до сих пор полностью не решена задача об идентефикации целой функции экспоненциального типа как преобразования Фурье-Стилтьеса функции ограниченной вариации. Имеющиеся результаты в этом плане концентрируются вокруг известной теоремы Пэлн-Винера [27, с. 103]. Эта проблема в ином контексте может быть интерпретирована как задача описания сопряженных пространств к тем или иным функциональным пространствам в терминах преобразования Фурье-Стилтьеса (см. [11],[6]). Результаты, представленные в настоящей диссертации, примыкают к исследованию упомянутой выше задачи в случае, когда расматривается преобразование Фурье-Стилтьеса сингулярных функций ограниченной вариации.
Результаты представленные в данной диссертации были опубликованы в работах [1], [2], [3], [4], [5], [17], [18], [19].
Структура диссертации.
Краткое содержание главы
В главе 1 рассмотрены три классических процедуры построения сингулярных функций. Мы описываем исторически известные примеры, придавая им новое звучание в рамках той схемы, которая строится нами в главе

Параграф 1.1.
В параграфе 1.1 приводится описание конструкции функции Лебега и обобщенной функции Лебега, соотнесенных к совершенному множеству с постоянным отношением разбиения (£ < |). Это наиболее известный

Глава 2. Сингулярные функции как функции распределения рядов со случайной растановкой знаков
§ 2.1 Сингулярные функции канторовского типа, порождаемые рядами со случайной расстановкой
знаков
В этом параграфе предлагается способ построения сингулярных функций канторовского типа, основанный на использовании ряда:

(i-OC1E±efc,o<^<-.

Проводится изучение зависимости свойств получаемых функций от стохастических свойств ряда (теоремы 2.1.1 и 2.1.2). В заключении доказывается (теорема 2.1.3), что предложенный способ универсален и позволяет строить и изучать произвольную сингулярную функцию канторовского типа.
Определим множество П = {w : to = (fb ...),tn = ±1} и /3 - ст-алгебру, порожденную цилиндрами {Сп(ф,... где Сп(6и...,5п) —
{и : lo = (ф,..., 8п, tn+i,...), t* = ±1 к = п + 1,...} - n-мерный цилиндр с основанием (ф,..., 5п).
Для £ 6 (0, |) рассмотрим отображение S : П —> [—1,1], определенное формулой:

зд = (1 - or1 Е oj = (tu..., tn,...), tn = ±1. (2.1.1)

Лемма 2.1.1 Образом множества Q при отображении S будет Еj - множество канторовского типа отрезка [—1,1] с постоянным отношением разбиения £, т.е. £>(П) = Е^.
Доказательство. Обращаясь к процедуре построения множества Е^ С [—1,1], описанной в параграфе 1.1, имеем следующую формулу для точек х £ Е