Пространства векторнозначных и операторозначных функций и их применение к аналитическому представлению операторов

• Автор: Наводнов, Владимир Григорьевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 130 c. : ил

Г л а в а I. Банаховы пространства векторнозначных и

операторнозначных функций

§1. Определения, обозначения, терминология и вспомогательные факты

§2. Пространство измеримых вектор-функций

§3. Пространства оператор-функций и

(£Г,Х)

§4. Пространства и /Г

Г л а в а II. Интегральные операторы в пространствах

измеримых вектор-функций

§1. Правильные и регулярные операторы

§2. £ - интегральные операторы

§3. Р - и Р* - интегральные операторы
§4. Представление линейных операторов из /^ в
в интегральном виде
Указатель обозначений

В диссертационной работе изучается классическая для функционального анализа задача об аналитическом представлении линейных операторов и связанные с ней вопросы теории пространств векторнозначных и операторнозначных функций.
Пространства вектор-функций были введены и активно изучались во второй половине 30-х годов и др.).
Интерес к этим пространствам возник, в частности, как к пространствам ядер различных классов линейных операторов, допускающих аналитическое представление с помощью вектор-функций
В последние годы интерес к этой тематике снова стал возрастать. Пространства вектор-функций нашли интересные и важные приложения в теории банаховых пространств (
£3&7), теории вероятностей ) ( £33? ), в теории дифференциальных и интегральных уравнений в банаховом пространстве (/Й7 ,£25.7,/"^7/Л77(), оптимальном управлении (X/-/ , Изучение пространств вектор-функций представляет важную и самостоятельную задачу, богатую интересными и нетривиальными результатами. Некоторые задачи, поставленные более 15 - 20 лет назад, все еще остаются нерешенными.
Это, в основном,- задачи, связанные с исследованием пространств вектор-функций в топологиях более слабых, чем нормированная

Теория линейных интегральных операторов, действующих в пространствах измеримых функций, представляет собой достаточно разработанный раздел функционального анализа. Большой вклад в создание этой теории внесли советские математики:
С.Л.Соболев, Л.В.Канторович, М.А.Красносельский, П.П.Забрей-ко, В.Б.Коротков, 30.И.Грибанов, А.В.Бухвалов и др.
Различные разделы этой теории систематизированы в монографиях т ,[/91, [23] , [29] ,
Тем не менее в теории интегральных операторов еще много остается нерешенных задач. Некоторые из них приведены в недавно вышедшей монографии Халмоша и Сандера [99]
При отыскании общего вида линейного непрерывного оператора, действующего из одного банахова, пространства измеримых функций Е в другое Е , полезным оказался метод, когда одно из пространств Е или Е считается произвольным банаховым пространством, а другое фиксированным банаховым пространством функций. При этом оператор допускает представление либо в виде билинейной формы с векторнозначнни ядром, либо в виде векторнозначного интеграла. (Бохнерэ, Петтиса и др.). Такой подход потребовал подробного изучения операторов, имеющих данное аналитическое представление.
Операторы, допускающие представление в виде билинейной формы с векторнозначным ядром, ( С - к С - операторы) были подробно изучены в работах В.Б.Короткова и С.Я.ЗГдаиова. Представляет интерес задача, об изучении линейных операторов, допускающих представление в форме векторнозначных интегралов.

). Нетрудно видеть, что опера-тор-функция является предизмеримой (# -слабо измеримой). Поскольку при кэдцнх {х^Х ) и 7~ //=

=//г££[М*#е//А’М /<Ж/Ые,х>/ то / X /; и, сдедователы-ю
(сГ СоГ^ (£,Х) ) •
хгхх*; ’ у
Осталось показать, чтосЖ~’~2Г //67
). Выберем подпоследовательность
А/р/ У
уд у со свойством: ^Д>>Д
/Г /'Л>
При каждых СеХ , уе X* (у&Х е,у>—'~<сО&е‘,у>
. Следовательно,

Г^е,^>-хх е^>м//е////^//1х и
^ 'V/?*/ "/77
где ряды сходятся в . В силу произвольности
и г/еХ* ( )
А к

/У /г К /~<Хе,//>-~2Х„е,.у>М X /X
"х-ху/ым/ ’У т-х ДДД5Д
Поэтому
ОО _ .
р(Х-Х^ )=?['У-Х/^^ХуХх„/г7^-Х/7т Г
Таким образом, —~~ *ХХ , а, следовательно,
и ^ *-ЛГ в ^%у) ( ^Х(£,ху }