Пространства Соболева и субэллиптические уравнения на группах Карно

• Автор: Плотникова, Елена Александровна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 82 с.

Оглавление

1 Обозначения и предварительные сведения

1.1 Группы Карно

1.1.1 Общие группы Карно

1.1.2 Двухступенчатые группы Карно и группы Гейзенберга

1.2 Функциональные пространства на группах Карно. Теоремы вложения

1.3 Интегральные неравенства

1.4 Области. Декомпозиция Уитни

1.5 Горизонтальные и однородные полиномы. Однородные функции

2 Интегральные представления типа Соболева

2.1 Интегральные представления функций, заданных в ограниченных областях групп Карно, через первые производные
2.2 Интегральные представления функций, заданных в ограниченных об-
ластях двухступенчатых групп Карно, через первые горизонтальные производные
2.3 Интегральные представления функций, заданных в ограниченных об-
ластях двухступенчатых групп Карно, через горизонтальные производные произвольного порядка
2.4 О проблеме Михлина
3 Неравенства Пуанкаре
3.1 Слабые неравенства Пуанкаре
3.1.1 Случай общих групп Карно
3.1.2 Случай двухступенчатых групп Карно

3.2 Обобщенные неравенства Пуанкаре на общих группах Карно

4 Регулярность решений линейных уравнений субэллиптического типа
4.1 Вспомогательные предложения
4.2 Класс функций *В(П, М, 7,7], |) и его свойства
4.3 Гёльдеровость слабых решений линейных уравнений
5 Регулярность решений квазилинейных уравнений субэллинтическо-
го тина
5.1 Предварительные сведения
5.2 Дифференцируемость вдоль векторных полей
5.2.1 "Дифференцируемость"вдоль левоипвариаптпого векторного поля
5.2.2 Дифференцируемость решения вдоль вертикального векторного поля
5.2.3 Дифференцируемость решения вдоль горизонтальных векторных полей
5.3 Гёльдеровость слабого решения

Введение
История вопроса
В 30-е годы прошлого века при решении уравнений с частными производными С. Л. Соболев заложил основы теории функций с обобщенными производными, разные аспекты которой отражены в его монографии [25), см. также [26]. Дальнейшее развитие этого направления было мотивированно применениями классов Соболева к теории уравнений с частными производными и другим областям, см., например, книги С. М. Никольского [16], Е. М. Стейна [27], О. В. Бесова, В. П. Ильина, С. М. Никольского [1], В. М. Гольдштейна и Ю. Г. Решетника [7], В. Г. Мазьи [14], Д. Р. Адамса и Л. И. Хедбсрга [30], В. И. Буренкова [33], Ю. Г. Решетника [20] и других авторов.
Большое значение в теории функциональных пространств, теории дифференциальных уравнений с частными производными и других вопросах имеют интегральные представления функций, заданных в областях евклидовых пространств. Различные способы вывода интегральных представлений можно найти в работах [2, 3, 17, 21, 29, 32, 62].
В работах последних лет интенсивно изучаются функции классов Соболева на неголономных многообразиях и более общих метрических структурах. Внимание к этим вопросам обусловлено многочисленными приложениями к исследованию свойств решений еубэллиптическнх дифференциальных уравнений, см., например, работы Л. Хермандера [49], Д. Джерисона [50], Л. Ротшильд и Е. Стейна [59], А. Санчес-Калле [60], Л. Капоньи, Д. Даниелли и Н. Гарофало [36, 37], Б. Франки и Е. Ланко-нелли [44|, С. К. Водопьянова и В. М. Черникова [38|, к изучению квазиконформного анализа, см. работы С. К. Водопьянова [4, 67], Н. С. Даирбекова [40], Ю. Хейпонена и И. Холопайнена [48], и ко многим смежным вопросам, см. работы П. Пансу [57],

Принимая во внимание коммутационные соотношения и выражения для полей в координатах, для г 6 {1
Хг,у(Х 1 у)] = Хг,У (% ~Х3 - Ъ%> ХкУР) = 2 Е’р (Ур - ХР) (2-25)
Далее, учитывая равенства (2.25), легко видеть, что слагаемые (х;1
Уг2)... (ху ~Уу)ХН'уХ'у ... Х1„у((у~1шх) ... {у~1-х)],) уничтожатся. Таким образом, операторы А и В{ перестановочны.
Перейдем теперь непосредственно к выводу интегрального представления. Пусть задана функция / класса С°°{и). Определим по ней функцию двух переменных
Очевидно, что <д,(х, х) = /(х). Воспользуемся для дк, как функции переменной г/, интегральным представлением (2.1) в точке у = х. Получаем

2i+j
9к{*, уМу) йу - I Г(х , у; (р)(А1 + 2В1)дк(х, у) Фу.

Используя перестановочность и рекуррентные соотношения, имеем
[к/ 2] к
Аналогично,
г 1(к~з)/2] х
Окончательно получаем

(2.26)
/(У))г(х,у) йу.