Геометрические свойства пространственных квазиизометрических и квазиконформных отображений, близких к конформным

• Автор: Троценко, Дмитрий Александрович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 107 c. : ил

Обозначения и предварительные сведения

ГЛАВА I. Классы областей

§ I. Определения однородных областей

§ 2. Однородные области,близкие к шару

§ 3. Интегральные свойства областей

Глава II. Аппроксимация и продолжение отображений

§ 4. Свойства мебиусовых отображений

§ 5. Аппроксимация подобиями квазиконформных

отображений

§ 6. Квазиизометрические отражения

§ 7. Продолжение отображения из области

Глава III. Образ прямой при квазиконформных отображениях пространства, близких к конформным.... 73 § 8. Формулировка результата и вспомогательные
утверждения
§ 9. Построение отображения из прямой на кривую
§ 10.Продолжение отображения на К
ЛИТЕРАТУРА

Обозначения и предварительные сведения.
R* - V) - мерное евклидово пространство R” , пополненное одной бесконечной точкой.
Множество вещественных чисел R считаем вложенным в R* , отождествляя х & 9. с точкой (х,ог..,о)ёКи. С - расширенная комплексная плоскость.
Если Ы <=■ 15й , то U - замыкание, дС1 - граница, LyiAU- внутренность множества (X
и* =R" кй.
В открытый шар в R" радиуса t с центром точкой х
5(х,ъ) = ЭВ (х, г).
[л, é]~ замкнутый отрезок в R"1 с концами Ос и ê . ‘ЗТр - ортогональная проекция на гиперплоскость р
Для множеств Й ,В с R полагаем
р(й,в) = <^-.f „|x-ai.
xt ,ij бВ
cticth f = SM.p I x — ч I
dUi (Я, В) = SUp ьи-f j X - ч I -отклонение
X € А ус
множества й от множества В
Область в R*1 - открытое связное множество.
Подобие в r"1 - отображение, композиция изометрии и подобного -растяжения,'-переводящее * в Пи- группа подобий в R*
ЦТ || - коэффициент растяжения подобия Т •
Если Т е Пи , то 11Т Ц = |Т (х) -Т (у)/х -ц для произвольной пары х , lj б £ и, X Ф ÿ •
1 |/^
Мебиусово преобразование в К - композиция подобий : я инверсий, доопределенное по непрерывности.
Ни - группа мебиусовых преобразований Р11.
М*- группа мебиусовых преобразований, сохраняющих ориентацию пространства.
в С = она совпадает с группой дробно-линейных отображений.
Сфера 35 - сфера или гиперплоскость, окружность * -окружность или прямая, шар 35 - шар, полупространство или дополнение к шару - образы сферы, окружности, шара при мебиусовых преобразованиях £>и.
Отображение р: ^ назовем (1+£)- квазиизометрией, если для любых х,у £ выполнены неравенст-

Квазиизометрическое отображение области определяется более громоздко, но нам оно не понадобится.
- коэффициент искажения отображения ^ с ограниченным искажением или квазиконформного отображения
Ц V]
Если Ь ; -> R - линейное отображение, то положим
1141 = I ^(х)1 , ^ - определитель матрицы
Ь в некотором ортонормированном базисе. В этом случае Кь = ШП/сШ:Ц , если [_. не вырождено.
Систематическое изложение теории пространственных квазиконформных отображений можно найти в [б, 22] . Там рассматриваются другие коэффициенты квазиконформности отображения - К г » К 0 » ^ - В формулировках результатов диссертации всюду можно заменить на любой из этих

1т ЛЛ-Т/ЧЛ1= А, _г_ г!Лг_г1 j2|(lxMz|)|x-2| .
|iwjwi lxl* |х|г + -л <№,г|_
Общий случай подобием приводится к рассмотренному. Отсюда и из (3) следует неравенство
I I (х) -х| й 34 С* t ъ ■ еони х е в^.(4)
Положим X - I f V (г) , где £ e 6^ . Тогда
X е I ( В3) с Вя . Так как -f *- I -f I , то
(г) • Неравенство (3) перепишем в виде
I^I‘f-i(a)-ir1(f'1(2)|Ä ,еолигеВ4.
Теперь из (4) имеем:
|i Если в оценке (2) положить X - -f i Ф 1 fe), где г е В ^ »ТО
1^ У (г)| 4 С± £, Z .Из двух последних оценок получаем:
:U По построению, (^хГхй)=х0 , значит, I ^^J(oo) = ос? .следовательно, I Т* J - подобие. Тогда из 4.4 следует,что
Рч>-1 (В4 ) й <ÖOCi = сд £
Свойство 4.2. I) дает оценку коэффициента р для шара В ~ В(*0,2.£):
Р^-1 (В) ^ £/(У/й£ - сг £) .Считаем £
столь малым, что сг £ /и §> • Полагаем
сз~ 32 сг§ /* , тогда р^-1(в)^С3£-
Используя 4.3.3) для Ц~± и шара В » найдем Тб Пи