Пространства мультипликативных автоморфных форм и подмногообразия в пространствах Шоттки и Тейхмюллера

• Автор: Сергеева, Ольга Алексеевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 147 с. : ил.

Глава I Двойственность дифференциалов Прима на компактной римановой поверхности

§1. Топологические и аналитические свойства группы характеров для компактной римановой поверхности
§2. Общая д-двойственность мероморфных дифференциалов Прима на компактной римановой поверхности
2.1 Мультипликативные функции, дифференциалы Прима и их дивизоры на римановой поверхности

2.2 Пространства строго двойственных дифференциалов Прима

2.3 Общая строгая д-двойственность дифференциалов

Прима

Глава II Нормированные пространства мультипликативных автоморфных форм

§1. Нормированные пространства измеримых и голоморфных мультипликативных автоморфных форм

1.1 Мультипликативные автоморфные формы

1.2 Мультипликативные операторы
1.3 Мультипликативные функционалы
1.4 Теорема вложения для пространств мультипликативных голоморфных автоморфных форм
§2. Модифицированные операторы Берса и двойственность мультипликативных голоморфных форм
2.1 Предварительные сведения
2.2 Модифицированный оператор Берса, обращающий характер формы
2.3 Модифицированный оператор Берса, д-двойственно меняющий порядок формы
2.4 Композиция модифицированных операторов Берса
2.5 Модифицированный оператор Берса и общая (д, р)-двойственность голоморфных форм
Глава III Конформные автоморфизмы компактных ри-мановых поверхностей, подмногообразия в пространствах Шоттки и Тейхмюллера
§1. Предварительные сведения
§2. Плоские модели для компактных римановых поверхностей с двупорождёнными группами конформных автоморфизмов
2.1 Структура множества неподвижных точек циклической группы конформных автоморфизмов
2.2 Двупорождённая группа автоморфизмов типа (а,в)
2.3 Двупорождённая группа автоморфизмов типа (б,в)
§3. Подмногообразия в пространстве Шоттки и Тейхмюллера, связанные с двупорождёнными группами конформных автоморфизмов
3.1 Двупорождённая группа конформных автоморфизмов (У,М)
3.2 Двупорождённая группа конформных автоморфизмов (.Р,М)
Список литературы

Данная диссертация посвящена исследованиям нормированных пространств мультипликативных автоморфных форм (дифференциалов Прима) и подмногообразий в пространствах Шоттки и Тейхмюлле-ра для двух классов компактных римановых поверхностей с двупоро-ждёнными группами конформных автоморфизмов.
Классическая теория однозначных мероморфных функций и дифференциалов на компактной римановой поверхности была построена в работах А. Пуанкаре, Ф. Клейна, Л. В. Альфорса, Л. Берса, И. Кра [6, 17, 22]. Теория однозначных измеримых автоморфных форм была развита Л. Берсом, И. Кра в работах [2, 6, 17, 22]. Вся эта классическая теория соответствует тривиальному характеру р — 1. В работах Ф. Прима, Г. Роста, П. Аппеля [19] впервые были изучены мультипликативные функции и дифференциалы (дифференциалы Прима) для специальных классов характеров на компактной римановой поверхности. Они нашли многочисленные приложения в теории уравнений математической физики — работы Дж. Фея, С. П. Новикова, И. М. Кричеве-ра, И. А. Тайманова, в теории векторных расслоений над римановыми поверхностями и комплексными многообразиями — Р. Ганнинг, Дж. Кемпф, в аналитической теории чисел — Г. Петерсон, Дж. Фей, Дж. Йоргенсон, X. М. Фаркаш, И. Кра, А. Б. Венков, П. Г. Зограф. Принимая во внимание такую практическую ценность мультипликативных объектов для специальных характеров, Р. Ганнинг [15, 16] начал, а В. В. Чуешев [31, 18, 19] продолжил построение общей теории мероморфных диференциалов Прима для общих характеров на компактной римановой поверхности.
Классическая строгая двойственность дифференциалов Прима на компактной римановой поверхности изучалась в работах Э. Риттера и В. В. Чуешева. Э. Риттер доказал теорему Римана-Роха для строго двойственных мероморфных дифференциалов Прима в случае простых полюсов. В. В. Чуешев, используя другие методы, доказал эту

1)Строго q-двойственные размерности ipj ^ ^
■ ■ ■ Q(2g-2)p) принимают одно и тоже значение, равное
- О, если q < г < 0;
1, если (2. 13) верно, _
п < >если Т — о = q;
О, если (2. 13) не верно
q, если (2. 13) верно,
1 /л , если г = 1, q — 2.
g — 1, если (2. 13) не верно
2) Если 1 < г < q - 1, то ipj (Ql..J(2g_2)p) = 2(g - 1 )(q - 1) -i^miQ 1 ' ' ' Q{2g-2)p)-
Доказательство. Утверждение о возможных общих значениях строго q-двойственных размерностей сразу следует из предложений 2.3.1 и
2.3.2. Докажем пункт 2). Имеем ipj р) = (ör—1) (2(g—г) — 1)
-Ü7- l)(2r- l) + (flr- l)(2g-2) = 2(
Аналогично, положив I — р = г, вычисляем строго q-двойственные размерности ip,i{Qi...Q(2g-2)p) и (д—)• Объединяя полученные результаты, получаем
Теорема 2.3.2. (Римана-Роха для строгой q-двойственности дифференциалов Прима) Пусть F - компактная риманова поверхность рода g > 2, I + т = q, q £ Z и
0; при t < 0,
1, если 1 — 1 ,
; nput = 0,
0, если 1=0 g, если
Тогда
dt = <
го> туш t = 1, <7 — 1, если 1
. (g - 1)(2г - 1) (> 3q - 3 > д) при t > 1.