Аппроксимации функций на всей прямой посредством весовых экспонент и теоремы типа Хаусдорфа-Юнга и Пэли-Винера

• Автор: Прошкина, Анастасия Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 90 с.

Глава 1. Теоремы типа Хаусдорфа-Юнга и Пэли-Винера для преобразований Фурье некоторых специальных классов функций

1. Вспомогательные утверждения

2. Теоремы типа Хаусдорфа-Юнга

3. Теоремы типа Пэли-Винера

Глава 2. Теоремы типа Хаусдорфа-Юнга и Пэли-Винера

для преобразований Фурье быстро убывающих функций

1. Вспомогательные утверждения

2. Асимптотика преобразований Лапласа

быстро убывающих функций

3. Теоремы типа Хаусдорфа-Юнга и Пэли-Винера

Глава 3. Условие полноты весовых экспонент на прямой

1. Вспомогательные утверждения
2. Условие полноты весовых экспонент на прямой
3. Точность константы в теореме 3.1
Список литературы

В диссертации исследуется вопрос о полноте систем экспонент с весом в пространстве L2(R), а также доказывается ряд связанных с этим теорем типа Хаусдорфа-Юнга и Пэли-Винера.
Отправной точкой послужила следующая теорема Винера.
Теорема (Н. Винер, 1931 г.)[1]. Пусть / € TX(R) (A2(R)). Для того, чтобы линейные комбинации сдвигов
/(*- А), А € R
были плотны в ^(R) (L2(R)), необходимо и достаточно, чтобы / ф
О (/ ф 0 почти всюду).
Так как (/(1 - А)) = e~lXtf(t), а преобразование Фурье задает изоморфизм пространства E2(R) на себя, то плотность в L2(R) линейных комбинаций сдвигов
Л(/) = (/(* — А), А € Л С R) эквивалентна полноте в L2(R) семейства экспонент
е-ш g(t), А е Л С R, (0.1)
где g(t) = }{t) 6 L2{R).
Благодаря этому теорема Винера переформулируется следующим образом. Пусть g(t) 6 T2(R); для того, чтобы семейство
е~ш g(t), А € R
было полно в i2(R), необходимо и достаточно, чтобы g ф 0 почти всюду.
Зафиксируем <7 6 L2(R), g ф 0 почти всюду. Возникают вопросы: Существует ли множество Л С R, Л ф R такое, что семейство экспонент (0.1) полно в C/2(R)?
Если существует, то как более экономно выбрать множество Л?
От чего зависит выбор такого множества?
Частичный ответ на поставленные вопросы дает следующий результат А.М. Седлецкого [13, 16]. Если g{t) > ехр(—w(|t|)), t € R, где w(t) > 0, Lo(t) возрастает при t > 0 и w(t)/(t2 + 1) G L1(l,+oo), то, пока Л неплотно в R, семейство экспонент (0.1) неполно в L2(R).
Таким образом, допуская некоторую вольность, можно сказать, что полные семейства (0.1) с А ф R следует искать среди семейств с экспоненциальным и более быстрым убыванием веса g(t). Здесь, как мы увидим
вскоре, выбор Л (Л ф R) уже возможен (например, в качестве Л можно взять любое множество с конечной предельной точкой). Кроме того, ль при экспоненциальном убывании g(t) уже возможен выбор последовательности Л с единственной предельной точкой на бесконечности, такой, что соответствующая система экспонент с весом
e-tKt An € Л, А„ -> оо (n —» оо) (0.2)
полна в L2(R).
К этой же тематике можно прийти и со стороны негармонического анализа, т.е. от теории аппроксимационных свойств систем экспонент
e~iXnt, А„ е Л (0.3)
в функциональных пространствах на конечном интервале. Изучением таких свойств систем (0.3) (полнотой, минимальностью, базисностьюв Lp(—a, а) р < оо, поведением биортогональных рядов Фурье по системе (0.3)) занимались Р. Пэли и Н. Винер, затем Н. Левинсон, Л. Шварц, С. Верблюнский,
Б.Я. Левин, В.Д. Головин, М.И. Кадец, А.Ф. Леонтьев, В.Э. Кацнельсон,
А.П. Хромов, В.А. Молоденков, С.А. Авдонин, Н.К. Никольский, B.C. Павлов, С.В. Хрущёв, А.М. Седлецкий, А.М. Минкин и др.
Очевидно, что ни одна из функций (0.3) не принадлежит пространству ZX(R), р > 1. Чтобы добиться такой принадлежности, все функции системы (0.3) домножают на подходящий вес g(t) . В итоге мы снова приходим к системе (0/2).
Как уже отмечалось, полнота в Ь2(К) системы экспонент (0.2) с весом ' g(t) = / (f) равносильна плотности линейных комбинаций сдвигов
А(/) = (/(*- А„), А„ € А) (0.4)
в L2(R). По вопросам полноты систем (0.2) и плотности семейств (0.4) в различных функциональных пространствах на прямой известны работы Р.И. Эдвардса, И. Лёнрота, Т. Ганелиуса, Б. Факсена, Р. Залика, А.М. Се-длецкого, Т.А. Сальниковой, О.В. Шаповаловского, А.М. Олевского и др. Приведем некоторые результаты.
В 1951 году Р. Эдвардс [22] рассматривал свойства аффинных преобра-Ф зований {f(px + q), р 6 V, g € Q}, где V, Q — подмножества R, функций
/ , представимых в виде преобразований Фурье (Фурье-Стилтьеса). Им доказан ряд достаточных условий плотности семейств {f(px + g)} в пространствах Co(R) (C(R)).
В работе [25] И. Лёнрот рассматривал семейства сдвигов А(/) с множеством А С R, имеющим конечную предельную точку. Он предъявил

По свойству 2.4 Ь(у) есть медленно меняющаяся функция в смысле Зигмунда, поэтому
ф иь(у) = °> у +°°- {2.22)
Продолжая преобразование (2.41), по лемме 2.5 получаем
5(Т(у))у = - (13/ос + и1{у))о{1) = и 4-00. (2.42)
Лемма 2.8. Пусть для медленно меняющихся функций 1(1) и С(Ь) выполнены условия (2.8), (2.9). Тогда
I1 ~ .1/»)^ = 7 41), у ->■ Тоо.
а + д(Т(у)) у у
Доказательство. Из соотношения (2.42) имеем
ф (1 “ а + 6(Т)^ “ (а + 5(Т))2 6^у ~ (а + 5(Т))2 ~у~’ У +°°'
По формуле (2.13), с использованием обозначений (2.38), запишем выражение для 5(Т):
5(Т(у)) = щ(Т) - 7 а,(Г) - ис(Т) щ(Т).
Из (2.40) находим, что
5{Т(у)) = о(1), у Тоо. (2.44)
Тогда из (2.43) окончательно получаем
1 ' о( 1)
( _ Д"л- » _ ~7Г’ у +00‘
а Т о(1) у у

Лемма 2.9. Пусть для медленно меняющихся функций 1(1.), С(1) и Ь(1) выполнены условия (2.8), (2.9) и (2.35), (2.36). Тогда
,Т3 Г(Т)
ЦТ)
тУ)Г„ = 72 М/° + М Доказательство. Используя (2.41), по лемме 2.7 получаем 5{Т)"уу = ( ^ - (^ )2) 0(1) + ~ ЫТ) Т щ(Т) - и?(Т) Т а7 а/(Г) Т