Гармонические функции на римановых многообразиях с концами

• Автор: Корольков, Сергей Алексеевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Волгоград
• Количество страниц: 100 с. : ил.

1 Т-параболичность типа римановых многообразий

1.1 Вводные определения

1.2 Многообразия Л-параболического типа

1.3 Многообразия с концами

1.4 Квазимодельные концы

2 Л-ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ НА МНОГООБРАЗИЯХ С КОНЦАМИ

2.1 Л-гармонические функции на концах многообразия

2.2 Л-гармонические функции на Л-регулярных концах

2.3 Теоремы типа Лиувилля для Л-гармонических функций

2.4 Разрешимость краевых задач для гармонических функций

3 Л-ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ НА РИМАНОВЫХ МНОГООБРАЗИЯХ С КВАЗИМОДЕЛЬНЫМИ КОНЦАМИ

3.1 Гармонические функции на римановых многообразиях с квазимодельными концами
3.2 Л-гармонические функции на римановых многообразиях с
квазимодельными концами
4 ПРИЛОЖЕНИЕ
I. Поведение решений спектрального уравнения для оператора
Лапласа—Бельтрами
II. Поведение решений спектрального уравнения для оператора
Шредингера
ЛИТЕРАТУРА

В исследованиях последних десятилетий была отмечена глубокая связь между классическими проблемами теории функций, теорией решений эллиптических уравнений в частных производных второго порядка, в частности, уравнения Лапласа-Бельтрами и стационарного уравнения Шре-дингера, и геометрией римановых многообразий. Данная тематика нашла свое развитие в работах российских и зарубежных математиков: М. Андерсона, С.К. Водопьянова, A.A. Григорьяна, A.A. Клячина, В.А. Клячина, Е.М. Ландиса, П. Ли, А.Г. Лосева, Е.А. Мазепы, В.Г. Мазьи, В.М. Ми-клюкова, Н.С. Надирашвили, Л. Ниренберга, O.A. Олейник, Ю.Г. Решетника, С.Л. Соболева, Д. Сулливана, Л.Ф. Тама, В.Г. Ткачева, H.H. Ураль-цевой, С.Т. Яу и ряда других авторов.
Изучение эллиптических уравнений на римановых многообразиях является достаточно новым направлением в современной математике и лежит на стыке математического анализа, дифференциальных уравнений с частными производными, дифференциальной геометрии, теории случайных процессов. Истоки указанной проблематики восходят к классификационной теории двумерных некомпактных римановых многообразий и поверхностей. Важный класс проблем данного направления относится к получению теорем типа Лиувилля, утверждающих тривиальность пространства ограниченных решений некоторых эллиптических уравнений на многообразии.
Классическая формулировка теоремы Лиувилля утверждает, что всякая ограниченная гармоническая в функция является тождественной постоянной. В последнее время осуществляется следующий подход к теоремам типа Лиувилля. Пусть на римановом многообразии М задан класс функций А и эллиптический оператор L. Будем говорить, что на М выполнено обобщенное (А, А)-лиувиллево свойство, если пространство решений уравнения Lu = 0, принадлежащих функциональному классу А, имеет конечную размерность. Достаточно подробно об этой тематике на-

писано в обзорах A.A. Григорьяна [6], С.Т. Яу [60], а также в работах В.М. Миклюкова [46], А.Г. Лосева [34] и др.
Многие работы были посвящены изучению решений эллиптических уравнений на многообразиях с концами. Так, П. Ли, Л.Ф. Там в [29] доказали, что если многообразие М имеет т концов, то размерность пространства гармонических на М функций, которые ограничены либо сверху, либо снизу на каждом конце, не меньше, чем ш. Там же было доказано, что если М имеет гиперболический тип, то размерность конуса неотрицательных гармонических на М функций также не меньше, чем т.
На многообразиях с регулярными концами A.A. Григорьяном в работе [4] была доказана разрешимость некоторых краевых задач для положительных гармонических функций и были получены оценки размерности пространства ограниченных и конуса положительных гармонических "функций. Здесь под регулярностью конца понимается выполнение неравенства Харнака для неотрицательных гармонических функций на соответствующем конце.
А.Г. Лосевым в работе [30] были получены условия выполнения теорем типа Лиувилля на многообразиях с модельными концами, а также даны точные оценки размерности пространства ограниченных и конуса положительных гармонических функций на таких многообразиях.
В работах A.A. Григорьяна, С.В. Кима, Я.Х. Ли, А.Г. Лосева, Е.А. Мазепы и других математиков также рассматривались решения эллиптических уравнений более общих, чем уравнение Лапласа-Бельтрами, в частности, решения стационарного уравнения Шредингера (далее — L-гармо-нические функции)
Lu = Au — с(х)и = 0, (1)
где с(х) — гладкая неотрицательная функция.
Так, А.Г. Лосевым и Е.А. Мазепой в работе [40] были найдены условия разрешимости задачи Дирихле для ограниченных L-гармонических функций на многообразиях с квазимодельными концами.
В работе С.В. Кима, Я.Х. Ли [11] была получена оценка размерности
(т.к. О < и < uo на D как было показано выше). Применяя неравенство
Харнака к функции ud — и, получаем, что
О < lim sup(-u£) — и) < С lim inf (ив — и) = О,
к-*°° D(k) к~>°° °(к)
откуда u = uD в силу принципа максимума и того, что и|л(0) = иащ0) = 0. Таким образом,

lim sup |/ — bupI = b lim sup |— — u = 0,
fc-*cX> DBk b-^'X’DXBk; b
т.к. иц e u и ti 6 [{]. Из последнего следует, что / 6 [buD], Мы доказали вторую часть леммы 2.5 для ограниченной неотрицательной L-гармони-ческой функции /.
Пусть теперь /(ж) — произвольная ограниченная L-гармоническая на конце D L-гиперболического типа функция. Покажем, что существуют такие константы т и т2, что функция /(ж) = /(ж) + mivD{x) + т2ии(х) является неотрицательной ограниченной L-гармонической на D. Действительно, пусть / — ограничена на D и inf / < 0. Положим тi = — inf /,
D D{ о)
m2 = — lim inf /. Тогда /(ж) > 0 на .0(0) в силу того, что пд|р(о) = 1,
fc—>оо £>(fc)
«d|d(o) = 0 и lim inf /(ж) > 0 в силу замечания 1.3 и того, что vD е [0]
fc-*oo D{k)
на D (в силу леммы 2.4). Учитывая принцип максимума, заключаем, что /(ж) > 0 на D.
Как было показано выше, найдется такая константа 6, что /(ж) е [Ьио, откуда /(ж) +mivc>(x) + m2U£>(x) £ [Ьиц]. Из леммы 2.4 следует, что vp £ £ [0], откуда /(ж) £ [(b-m2)uD].
Лемма 2.5 доказана.
2.3 Теоремы типа Лиувилля для L-гармонических функций
В данном параграфе рассматриваются L-гармонические функции на ри-мановых многообразиях с произвольными концами.
Всюду далее будем считать, что М = В U Di U ... U Ds+i — гладкое связное многообразие без края с концами Di Ds+i, где Di Da