Пространства граничных значений и линейные отношения, порожденные дифференциальными выражениями

• Автор: Брук, Владислав Моисеевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Саратов
• Количество страниц: 299 с.

Оглавление

0.1 Введение

1 Пространства граничных значений

1.1 Голоморфные семейства линейных отношений

1.2 Пространство граничных значений для описания обратимых отношений

1.2.1 Граничные отображения и описание различных типов сужений

максимального отношения

1.2.2 Резольвентная сравнимость сужений максимального отношения

и асимптотика 5-чисел

1.2.3 Граничная четверка для голоморфных семейств линейных отношений

1.2.4 Описание спектра сужений максимального отношения

1.3 Пространство граничных значений для описания расширений симметрических отношений
1.3.1 Граничные отображения и описание диссипативных расширений
1.3.2 Резольвентная сравнимость расширений симметрического отно-
шения и асимптотика 5-чисел
1.3.3 О краевых задачах со спектральным параметром в граничном
условии, связанных с обобщенными резольвентами
1.3.4 Некоторые обобщения и замечания
2 Выражения с ограниченными операторными коэффициентами
2.1 Пространство Ьр{Н,А(1)]а,Ь)
2.2 Линейные отношения, порожденные формально несамосопряженными дифференциальными выражениями
2.2.1 Решения дифференциальных уравнений с нсеамосопряжеиной левой частью
2.2.2 Максимальные и минимальные отношения,порожденные несамосопряженными выражениями
2.2.3 Обратимые сужения максимального отношения
2.3 Линейные отношения, порожденные формально самосопряженными дифференциальными выражениями
2.3.1 Решения дифференциальных уравнений с формально самосопряженной левой частью
2.3.2 Максимальное и минимальное отношения в регулярном случае
2.3.3 Обобщенные резольвенты минимального отношения

2.3.4 Описание диссипативных и аккумулятивных расширений минимального отношения
2.3.5 Обобщенные резольвенты минимального отношения в сингулярном случае
2.4 Линейные отношения, порожденные дифференциальными выражениями с неванлинновской функцией
2.4.1 Операторы, порожденные неванлинновской функцией
2.4.2 Решения дифференциальных уравнений с неванлинновской функцией
2.4.3 Семейства максимальных и минимальных отношений в регулярном случае
2.4.4 Семейства максимальных и минимальных отношений в сингулярном случае
2.4.5 Характеристический оператор
3 Интегральные уравнения с неванлинновской мерой
3.1 Основные предположения и обозначения
3.2 Решения интегральных уравнений
3.3 Семейства максимальных и минимальных отношений
3.4 Обратимые сужения семейства максимальных отношений
3.5 Индексы дефекта некоторых интегральных и дифференциальных уравнений
3.6 Дифференциальные уравнения с сингулярными коэффициентами
4 Выражения с неограниченными операторными коэффициентами
4.1 Линейные отношения, порожденные выражениями эллиптического типа
4.1.1 Функция Грина
4.1.2 Максимальное и минимальное отношения
4.1.3 Обратимые сужения максимального отношения
4.1.4 Описание обобщенных резольвент
4.2 Линейные отношения,порожденные выражениями гиперболического типа
4.2.1 Решения дифференциально-операторных уравнений гиперболического типа
4.2.2 Максимальное и минимальное отношения
4.3 Линейные отношения, порожденные выражениями первого порядка
5 Приложение

Обозначения:
N - множество натуральных чисел;
Ъ - множество целых чисел;
Ж - множество действительных чисел;
С - множество комплексных чисел;
Е - тождественный оператор;
(-, •) - скалярное произведение;
{■, •} - упорядоченная пара;
V (Т) - область определения линейного отношения Т;
Е(Т) - область значений линейного отношения Т; р(Т) - резольвентное множество линейного отношения Т; а(Т) - спектр линейного отношения Т;
СТр(Т) - точечный спектр линейного отношения Т;
аС(Т) - непрерывный спектр линейного отношения Т
СГг(Т) - остаточный спектр линейного отношения Т
кег Т - множество таких элементов х € Т>(Т), что пара {ж, 0} € Т;
КегТ - множество пар {ж, 0} £ Т;
+ - прямая сумма линейно независимых линейных многообразий; ® - прямая сумма ортогональных подпространств гильбертова пространства;
0 - ортогональное дополнение;
□ - знак, обозначающий конец доказательства.

однострочную матрицу (С/1 (<, А), [/2(ГА)). По той же схеме, что и в разд.
2.2.2, с помощью функции II строятся пространства <3_, <5- и <3+ = (О-)*-
Функция Грина применяется для описания в разд. 4.1.2 отношений, порожденных в пространстве В = Ьр(Н,А^),а,Ь) (р ^ 1) выражением I и функцией А. Пусть V - отношение, состоящее из пар {у, /} £ В х В, для каждой из которых существует пара {у,/}, отождествленная в В х В с {у, /} и обладающая свойствами: (I) у сильно непрерывно дифференцируема в пространстве Н на отрезке [а, Ь] (и) у' абсолютно непрерывна вЯ-ц (ш) Н[у](£) =Д(1)/(£) при почти всех t. Замыкание отношения V обозначим через Ь и назовем максимальным отношением. Минимальное отношение Г0 определим как сужение отношения Ь на множество таких функций у € В со свойствами (1), (11), (ш), что у (а) = у'{а) = у(Ь) = у'{Ь) = 0.
Лемма 4.4. Отношение Ь — ХЕ состоит из множества пар {у, /} € В х В, для каждой из которых существует такая пара {у,/}, отождествленная 6 В х В с {у,/} , что
у = П(£, А)са + Е, (14)
где С € (3-, Е(£) — [ <-?(£, Х)А(з)/(з)дз.

В разд. 4.1.3 рассматриваются отношения Ь(А) со свойством Го С Ь(Х)сЬ. Доказывается, что если отношение (Г(А) — АЕ)“1 является оператором, то этот оператор интегральный. Устанавливается критерий голоморфности функции А—>(Е(А) — АЕ)-1.
Описание спектра сужений максимального отношения дано с помощью следующего ПГЗ. Каждой паре {у, /} £ Ь, представленной в виде (14) при А = 0, поставим в соответствии пару граничных значений по формулам
Гг{у; /}-со € д_, Г2{у, /}= [ и*(з,0)А(з)1(з)дз £ <3+. (15)

Если со £ <3 (те. {у; /} € Ь'), то
Гх{у, /} - {~у'{а), у'(Ь)}, Г2{у, /} = {у{а)+и(а, 0)у'(а), у(Ь)-С/(Ь, О)у'(Ь)}.