О локализации и стабилизации решений задачи Коши для дифференциальных уравнений в классах обобщенных функций

• Автор: Городецкий, Василий Васильевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Киев
• Количество страниц: 115 c. : ил

ГЛАВА I. О локализации и стабилизации решений задачи Коши для параболических систем в классе обобщенных функций
§ I. Предварительные сведения и обозначения
§ 2. О локализации решений задачи Коши для параболических в смысле Шилова систем с постоянными коэффициентами в классе обобщенных функций
§3.0 локализации решений задачи Коши для параболических в смысле Петровского систем в классе
обобщенных функций
§ 4. О стабилизации решений задачи Коши для параболических систем в классе обобщенных функций
ГЛАВА II. О полиномиальном приближении решений дифференциально-операторных уравнений в гильбертовом
пространстве
§ I. Некоторые вспомогательные сведения
§ 2. О полиномиальном приближении решения задачи Коши для эволюционного уравнения параболического
типа
§3.0 полиномиальном приближении решения задачи Коши для эволюционного уравнения гиперболического
типа с вырождением
§ 4. 0 полиномиальном приближении решения уравнения
Аи = {?
ЛИТЕРАТУРА

Диссертация посвящена исследованию свойств /локализации и стабилизации/ решений задачи Коши для параболических систем дифференциальных уравнений, а также полиномиальному представлению решений дифференциально-операторных уравнений.
I. Для рядов Фурье суммируемых на [о, 2.3Г] функций хорошо известен принцип локализации Римана [25] : сходимость или расходимость ряда Фурье в точке зависит только от поведения функции в окрестности этой точки. Другими словами, если К|г*Цо,МС) совпадают на интервале (й,&) с [о; 2.Х] , то во всяком отрезке [Оь+М-е], £?0 > разность их рядов Фурье равномерно сходится к нулю. Для обобщенных функций этот принцип, вообще говоря, не выполняется. Например, 5-функция Дирака совпадает с нулем на любом промежут-
+<Х> . I
ке, не содержащем точку 0, но ее ряд Фурье ^ не сходится
равномерно к нулю на любом таком промежутке. Если перейти к функциям многих переменных, то принцип локализации уже не имеет места и для суммируемых функций. Для его выполнения надо накладывать дополнительные условия гладкости /см. [I] /. Однако, во многих задачах математической физики, где пользуются представлением функции в виде ряда Фурье, более естественным является выполнение этого принципа не для самих рядов Фурье, а для рядов Фурье, просуммированных некоторым методом. Так, например, принцип локализации для ряда Фурье функции | , просуммированного методом Абеля-Пуассона, эквивалентен принципу локализации для решения задачи Дирихле .для уравнения Лапласа в единичном круге с граничной функцией | , заданной на окружности: если | на какой-то открытой части окружности совпадает с непрерывной функцией, то при подходе к границе круга по некасательным направлениям решение задачи Дирих-

ле сходится к ^ равномерно на любом компакте этого участка.
В.И.Горбачук и М.Л.Горбачуком [13] показано, что для преобразования Абеля-Пуассона ряда Фурье принцип локализации имеет место в классе ультрараспределений Кевре.
Естественно поставить следующую задачу: пусть в области С о границейг5С рассматривается уравнение 1_и = о и граничная задача , где 1_ и Ь - дифференциальные операторы, действующие в области С и на границе соответственно, а Ч> - обобщенная функция, заданная на ; если известно, что 1|) на каком-то участке границы достаточно гладка, то будет ли решение рассматриваемой граничной задачи сходиться к ф равномерно при подходе к этому участку?
В данной работе этот вопрос изучен для задачи Коши в случае, когда 1_ порождается системой дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа, т.е. системой вида
^ гГ~Т~ «.1ЛЫ1)^.Ыдт]*б^ м.~Д /ол/ 1*4 1ккр
в достаточно широких классах обобщенных начальных данных.
2. Вопрос о стабилизации решений задачи Коши для систем вида /0.1/ /т.е. существование у решения при •[->+«> определенного предела, понимаемого в том или ином смысле/ в классе обычных начальных функций рассматривался М.Кжижанским, С.Д. Эйдельманом, Ф.О.Порпером, А.М.Ильиным, Ю.Н.Дрожжиновым, В.Д. Репниковым, А.К.Гущиным, В.П.Михайловым, Е.Б.Сандаковым, Ю.Н. Валицким, В.В.Жиковым, В.Н.Денисовым и др. В классах обобщенных функций конечного порядка он изучался Ю.Н.Дрожжиновым, С.Д. Эйдельманом, Ю.Н.Валицким, Б.И.Завьяловым в случае уравнения теплопроводности. Обзор работ, относящихся к этому вопросу, см. в [17] - [18] , [21] - [22]
системы /3.1/ имеет вид:
= е<Д*г,*-з,з)+ /3,4
где ~ Ф-м.р. вспомогательной системы с параметром
^-=Р.йл;])>.Ь[о.Т]ЛеГ.

г цч
Матрица подбирается так, чтобы 2 (1,Ъ, Х,^) , как
функция г и X , была при 1 >Ъ решением /3.1/.
Рассмотрим первое слагаемое в /3.4/. Как показано в [32] /см. также [зо] /,
СсДг.х-ы) = (ар'/е®'* ^(ЦЕ.гКдЖ

где матрица С|0 удовлетворяет системе
-$[- = ЦАцО^бЧ 5 Р,(1л,б)«
1к1=2.£
и начальному условию ()0(х,Ъ ,«-5)= Е /Е ~ единичная матрица/. Отсюда получаем, что матрица 5=1)^0о /о«м<.«° / удовлетворяет системе