Нормальные формы и однородность вещественных подмногообразий комплексных пространств

• Автор: Лобода, Александр Васильевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 250 с.

ВВЕДЕНИЕ
В диссертационной работе изучается актуальная проблема современного комплексного анализа, связанная с однородностью вещественных подмногообразий комплексных пространств. Эта задача является общей для исследований граничных свойств голоморфных отображений и проблематики, связанной с изучением однородности вложенных подмногообразий.
Истоками первого круга задач можно, считать, например, классические теоремы одномерного комплексного анализа о соответствии границ при конформных отображениях и принцип симметрии.
Начало многомерным обобщениям этих теорем было положено в работе Пуанкаре [Poi]. В этой работе, в частности, были рассмотрены локальные автоморфизмы квадрики 3«; = ф|2 в пространстве С2 и показано, что всякое такое отображение является дробно-линейным и продолжается до биголоморфного автоморфизма шара.
Этот результат, переоткрытый позднее Александером [Ale], получил в дальнейшем развитие в различных направлениях ( см., например, [Пин-1], [Fef], [Пин-2], [Lew], [Вит-2] ). В этих работах с одной стороны доказаны естественные обобщения принципа соответствия границ, а с другой - иллюстрируется известное свойство жесткости голоморфных отображений в случае многомерных комплексных пространств. Названное свойство проявляется и при изучении биголоморфных отображений, заданных вблизи вещественных подмногообразий большей, чем 1 коразмерности. Например, в работах [Т-Х], [Сух] и других изучаются голоморфные отображения областей типа ”клина” в С” и сужения их на остовы таких областей, не являющиеся гиперповерхностями.
В связи с подобными вопросами естественным явилось создание в последние десятилетия теории CR-многообразий и их голоморфных (или CR-) отображений. Среди последних работ по CR-отображениям вещественных подмногообразий комплексных пространств, близких к идеям диссертации, можно назвать, например, статью [Zai] 1997-го года.
Основной результат этой статьи кратко можно сформулировать как утверждение о конечномерности семейства CR-отображений одного вещественно-аналитического подмногообразия многомерного комплексного пространства в другое аналогичное многообразие. С идеей конечномерности и ее реализацией в различных ситуациях связано

все содержание диссертационной работы.

Основным методом изучения большинства рассматриваемых в ней вопросов является приведение уравнений обсуждаемых многообразий к нормальной форме. Такой подход является по сути развитием метода подвижного репера Картана [Кар] и метода приведенных уравнений, использовавшихся многими математиками. Применительно к вещественным гиперповерхностям многомерных комплексных пространств наибольшую завершенность этот подход получил в работе [С-М].
С использованием нормальных форм легко получается, например, упомянутый выше результат Пуанкаре-Александера. На той же основе в серии работ Велошапки, Витушкина,Ежова, Кружилина и диссертанта (см. [Бел-1], [Б-В], [Лоб-1], [Лоб-2], [Вит-2], [Вит-3], [К-Л], [В-Е-К] ) изучены группы локальных голоморфных автоморфизмов вещественных гиперповерхностей в комплексных пространствах. Получен ряд утверждений, связанных с компактностью и линеаризацией этих групп. В частности, опираясь на локальные свойства аналитической поверхности, удается получать в случае ее компактности результаты о глобальном продолжении голоморфных отображений ([Вит- 2]).
Метод нормализации аналитических объектов успешно используется не только в геометрии, но и, например, в дифференциальных уравнениях ([Арн],[Бе-1],[Бе-2], а также в других разделах математики.
В диссертации техника нормальных форм применяется в ряде ситуаций, обобщающих рассмотрения Мозера, а также для описания вещественных поверхностей в вещественном же пространстве. С помощью этой техники оказывается возможным изучение свойства однородности для достаточно широкого класса вложенных подмногообразий.
Отметим, что построение классификации многообразий, допускающих транзитивные действия групп Ли, является сложной задачей даже в случае малых размерностей. В рамках диссертации нас в первую очередь интересует однородность вещественных подмногообразий многомерных комплексных пространств относительно голоморфных преобразований.
В 2-мерном случае полная классификация вещественных гиперповерхностей, допускающих транзитивные действия групп Ли биголо-

морфных (’’псевдоконформных” ) преобразований , была получена Э. Картаном в работе [Саг]. Его же описание вещественных однородных многообразий размерности 2 (см. [Кар]) оказалось неполным и было уточнено Мостовым в [Mos], Список 3-мерных вещественных однородных пространств и минимальных групп Ли, транзитивно действующих на них, предложен Горбацевичем в работе [Гор-1] (поправки и уточнения в [Гор-2]). Описанию 3-мерных комплексных однородных многообразий посвящена книга [Win-2],
Полная классификация однородных поверхностей 3-мерного аффинного пространства дана в недавней работе [D-K-R], Этой работе предшествовала целая серия публикаций различных авторов (см., например, [Gug], [N-S], [Vra], [L-W] ), изучавших аффинную однородность в пространствах Е”, включая п — 3, методами дифференциальной геометрии. Акцент во многих из этих статей делался на однородность относительно различных подгрупп (эквиафинная, цен-троафинная) аффинной группы. При этом часть названных работ также несвободна от ошибок и неточностей.
Отметим еще, что однородность компактных CR-гиперповерхно-стей произвольных размерностей обсуждалась в статьях [M-N], [Ros], [А-H-R]. В то же время полное описание всех ( не обязательно компактных ) однородных вещественных гиперповерхностей пространства С3 пока не получено.
В отличие от большинства перечисленных выше работ, посвященных однородности и опирающихся в первую очередь на алгебраические и дифференциально-геометрические методы, в диссертации развивается аналитический под ход к изучению локальной однородности вложенных подмногообразий.
Суть нашего подхода состоит в следующем. С использованием нормальных уравнений обсуждаемых подмногообразий в каждом из рассматриваемых случаев строится полная система их локальных инвариантов. Однородность многообразия М влечет совпадение таких систем для всех точек М. При этом каждый из упомянутых инвариантов является по сути тейлоровким коэффициентом нормального уравнения обсуждаемого аналитического многообразия. Следовательно, однородность сводится таким путем к системе дифференциальных уравнений на определяющую функцию М. Остается изучить решения этой системы.
Одним из основных результатов диссертации является реализация описанной выше схемы в нескольких случаях.
В целом диссертация состоит из введения и пяти глав. Каждая

многообразии и преобразование из класса Л, переводящее L(pi) ПМ в Ui(p2) П М, а точку pi - в точку ро-
Ясно, что подмногообразие, однородное в традиционном смысле, т.е. допускающее транзитивную группу Ли преобразований, является и слабо однородным. В то же время отметим ряд работ [Каи], [Win-1], в которых показано отличие свойства слабой голоморфной однородности в нашем понимании от однородности традиционной ( G-однородности согласно обозначениям из этих статей ). Причиной различия двух определений являются в этих работах слишком большие семейства голоморфных преобразований конкретных многообразий и некоторые их топологические характеристики. В обсуждаемых ниже ситуациях названные факторы не действуют. Однако сам факт такого различия требует аккуратности в обсуждениях и в нашем случае.
Существование этого различия подсказывает и различные подходы к вопросу об однородности вложенных подмногообразий. Например, помимо упомянутой в предыдущем разделе статьи [D-K-R], использующей группы и алгебры Ли, отметим еще дифференциальногеометрический подход к проблеме однородности, развиваемый в ряде работ [N-S], [Vra], [Wan],
Не умаляя достоинств названных подходов, мы развиваем ниже аналитический метод, связанный со специальными уравнениями обсуждаемых подмногообразий. Изложим здесь суть нашего метода.
Она заключается в приведении данного подмногообразия М С N к какому-либо каноническому виду посредством преобразований из класса Л. У нас везде ниже речь идет о специальном виде уравнений, задающих подмногообразие. Желательно при этом, чтобы канонический вид (или нормальная форма) обладали свойством единственности.
Отображение одного подмногообразия канонического вида в другое возможно в такой ситуации лишь при совпадении обсуждаемых канонических представлений.
Имеется большой класс локальных или допускающих локальную трактовку нормализаций в различных пространствах ( как уже отмечалось выше, наиболее интересной для нас является нормализация Мозера уравнения вещественной гиперповерхности в пространстве С"; многие из обсуждаемых идей допускают наглядную иллюстрацию на ее примере). Процедуры приведения к нормальной форме оказываются при этом достаточно прозрачными и обозримыми, по крайней мере теоретически. Обычно такие процедуры строятся как