Когомологии банаховых и близких к ним алгебр

• Автор: Селиванов, Юрий Васильевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 291 с.

Оглавление
Введение
1. Гомологически тривиальные алгебры Фреше
1.1. Унитальные модули Фреше над алгебрами Фреше, их характеристики
1.2. Проективные модули Фреше
1.3. Алгебры Фреше глобальной размерности нуль
1.4. Оболочка Аренса—Майкла и стягиваемые метризуе-мые алгебры Аренса—Майкла
2. Когомологии бипроективных и биплоских банаховых
алгебр
2.1. Банаховы модули и бимодули, бипроективные банаховы алгебры
2.2. Бимодульные тензорные произведения и биплоские банаховы алгебры
2.3. Пространства мультипликаторов
2.4. Вычисление групп когомологий
2.5. Когомологические характеризации бипроективности и биплоскости
2.6. Слабая биразмерность и ее вычисление для биплоских банаховых алгебр
3. Гомологические размерности банаховых модулей и
банаховых алгебр
3.1. Одна задача геометрии банаховых пространств
3.2. Сильно недополняемые подпространства банаховых пространств
3.3. Гомологические размерности банаховых модулей и их существенных подмодулей
3.4. Гомологические характеристики банаховых алгебр
3.5. Свойства бипроективных банаховых алгебр
4. Гомологические размерности тензорных произведений
(формулы аддитивности)
4.1. Некоторые замечания и напоминания
4.2. Оценки сверху и снизу гомологических размерностей тензорных произведений
4.3. Геометрия тензорных произведений (некоторые задачи коретракции)
4.4. Формулы аддитивности (коммутативный случай) . . .
4.5. Формулы аддитивности (некоммутативный случай) . .
4.6. Формула аддитивности для слабой биразмерности . . .
5. Некоторые приложения
5.1. Дифференцирования бипроективных и биплоских банаховых алгебр
5.2. Расщепимость и алгебраическая расщепимость сингулярных расширений
5.3. Множество значений, принимаемых слабой биразмерностью в классе полупростых банаховых алгебр
Литература

Введение
Предмет настоящей диссертации относится к топологической гомологии — области функционального анализа, изучающей банаховы и локально выпуклые топологические алгебры и их непрерывные представления (банаховы и топологические модули) с использованием методов гомологической алгебры. В диссертации развиты методы, позволяющие изучать закономерности, которым подчиняются гомологические характеристики банаховых и близких к ним топологических алгебр, и вычислять эти характеристики для ряда конкретных “алгебр анализа”. Помимо самостоятельного интереса, эти характеристики играют большую роль при изучении дифференцирований, расширений и возмущений таких алгебр и их представлений. Они тесно связаны с банахово-геометрическим строением модулей, а также со многими фундаментальными понятиями топологии и функционального анализа (см. [42]). Гомологические характеристики локально выпуклых алгебр были с успехом использованы Дж. Тэйлором [122] при решении классической задачи построения мультиоператор-ного голоморфного функционального исчисления в банаховом пространстве.
Позднее аппарат локально выпуклой гомологии активно использовался различными авторами в работах, связанных с вопросами многомерной спектральной теории линейных операторов [74, 110, 111], а также с некоторыми задачами комплексной аналитической геометрии [101,113,120]. Отметим, что в спектральной теории операторов топологическая гомология позволила не только обобщить многие классические теоремы на случай нескольких коммутирующих операторов, но и получить новые результаты в “теории одного оператора”. Свой-

циклическим (соотв., неприводимым) тогда и только тогда, когда он топологически изоморфен фактормодулю вида А/1, где I — замкнутый (соотв., замкнутый максимальный) левый идеал в А.
Категории (би)модулей Фреше над алгебрами Фреше аддитивны, но неабелевы. Поэтому при построении гомологической теории в этих категориях обычно выделяются из всевозможных морфизмов так называемые допустимые.
Определение 1.1.2. Морфизм р £ дЬ(Х. У) называется допустимым, если его ядро и образ замкнуты и имеют топологическое дополнение соответственно в X и У.
Очевидно, эпиморфизм <т € дЬ(Х, У) допустим тогда и только тогда, когда существует оператор р £ В(У, X) такой, что со р — 1у, где 1у — тождественный оператор в У.
Определение 1.1.3. Модуль Р £ А-иптос^Рг) называется проективным, если для любого допустимого эпиморфизма о £ дЬ(Х,У); X, У £ А-иптос!)^), и любого морфизма <р £ дЬ(Р, У) существует -ф £ дЬ(Р, X) такой, что сг о -ф — р.
Эквивалентное определение проективности состоит в том, что любой допустимый эпиморфизм сг £ дЬ(Х,Р) обладает правым обратным морфизмом в А-иптос1(.Рг).
Пусть теперь Е и Р — пространства Фреше. Обозначим через Е ® Р их алгебраическое тензорное произведение. Как известно, оно является линейной оболочкой элементов вида х®у, где х £ Е к у £ Р. Для каждой пары непрерывных преднорм || • Ц,, на Е и || • ||„ на Р зададим преднорму || • \ж(ц,и) на Р ® Р формулой