Оптимальные вложения и двусторонние оценки модуля непрерывности для пространств обобщенных потенциалов

• Автор: Малышева, Анастасия Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 73 с.

Содержание
Введение.

1 Основные понятия и обозначения.

1.1 Банаховы функциональные пространства (БФП)

1.2 Ассоциированное пространство

1.3 Функции распределения и убывающие перестановки

1.4 Максимальная функция

1.5 Перестановочно инвариантные пространства (ПИП)

1.6 Сферическая перестановка

1.7 Конечные разности и модули непрерывности

2 Пространство потенциалов, ядра представления, интегральные свойства потенциалов.

2.1 Пространство потенциалов
2.2 Два типа условий на ядра представления
2.3 Эквивалентные описания конусов перестановок
2.4 Интегральные свойства потенциалов
2.5 Оптимальное ПИП для конусов убывающих функций
2.6 Доказательство теоремы 2.6 для обобщенных потенциалов Рисса.
3 Оптимальные условия вложения пространства потенциалов типа Рисса.
3.1 Оптимальные условия вложения при 1 < р < оо
3.2 Оптимальные условия вложения при р = оо
4 Оценка сверху модуля непрерывности свёртки.
4.1 Основные оценки сверху модуля непрерывности свёртки
4.2 Оценка сверху модуля непрерывности свёртки на классе радиально-симметричных ядер
5 Оценка снизу для модуля непрерывности свёртки.
5.1 Оценка снизу для модуля непрерывности свёртки на классе радиально-симметричных ядер
5.2 Двусторонняя оценка модуля непрерывности для потенциалов Бесселя
Список литературы.

Введение.
Теория классических потенциалов Бесселя является важным разделом общей теории пространств дифференцируемых функций дробной гладкости и ее приложений в теории дифференциальных уравнений в частных производных. Свойства классических ядер Бесселя-Макдональда подробно изучены в книгах С.М. Никольского [2] и И. Стейна [3]. Классические ядра отвечают операциям дробного интегрирования и характеризуются наличием особенности степенного типа.
Лиувиллевские классы LTp (Rn), построение которых основывается на клас-сичечких ядрах Бесселя-Макдональда, при целых показателях гладкости пространства совпадают с пространствами Соболева Wp (Мп), а при дробных значениях г представляют собой естественное продолжение соболевских классов.
Теория таких пространств, ее приложений, в том числе теория вложения пространств классических потенциалов, получили развитие в работах многих математиков, особенно стоит отметить исследования следующих выдающихся авторов: C.JI. Соболев, С.М. Никольский [2,15], О.В. Бесов [15], В.И. Буренков [18], Л.Д. Кудрявцев, П.И. Лизоркин, Ю.Г. Решетник, П.Л. Ульянов, Л. Хёр-мандер, И. Стейн [3], В.Г. Мазья [4], а также многие другие специалисты в области математического анализа, теории уравнений в частных производных. Также отметим работы В.И. Буренкова, A.B. Бухвалова, М.Л. Гольдмана, Г.А. Калябина, В.И. Коляды, Ю.В. Нетрусова, А. Гогатишвили, Х.-Г. Леопольда и др., в чьих трудах в последние десятилетия теория пространств была обогащена развитием теории пространств обобщенной гладкости.
Здесь мы изучаем обобщения ядер Бесселя-Макдональда. В отличие от классического случая, в них допускаются нестепенные особенности ядер в окрестности начала координат, а их поведение па бесконечности связано только с условием интегрируемости, и, таким образом, в рассмотрение включены также ядра с компактным носителем. И, значит, такое обобщение будет охватывать более общие функции оператора диференцирования, уже необязательно только степенного типа. Заметим, что такие обобщения дают при описании дифференциальных свойств функции большую гибкость, кроме того, в тех ситуациях, когда классические потенциалы не дают результатов, подобные обобщения доставляют содержательные ответы и теоремы вложения пространств.
Мы изучаем пространство потенциалов на n-мерпом евклидовом пространстве, которые построены на основе перестановочно-инвариантных про-

странств (ПИП) с помощью светрок с ядрами общего вида, в это рассмотрение включаются пространства классических потенциалов Бесселя и Рисса.
Цель работы состоит в изучении дифференциальных свойств обобщенных потенциалов Бесселя в случае вложения в пространство непрерывных функций. Эти свойства характеризуются с помощью модулей непрерывоети любых порядков в равномерной норме. Также изучены интегральные свойства обобщенных потенциалов Рисса, для них установлены условия вложения пространств потенциалов в перестановочно-инвариантные пространства, кроме того, описаны оптимальные перестановочно-инвариантных пространств для таких вложений, в случае, когда в качестве "базовых перестановочно-инвариантных пространств"используются пространства Лоренца с общим весом.
В первой главе в краткой форме даны основные понятия, сформулировы известные результаты, которые используются в работе.
Во второй главе более подробно описано пространство потенциалов Яд (Кп) на п-мерном евклидовом пространстве:
Яд(Шп) = {и = С*/:/е Е(Жп)},
где Е (К") - перестановочно-инвариантное пространство. При этом используется аксиоматика, введенная авторами К.Беннет и Р.Шарпли [1|. В частности, Е' — Е' (Е7‘) - ассоциированное ПИП, т.е. ПИП с нормой:
Для ПИП Е (Rn) и Е’ (R"j рассмотрим пространства Ё = Ё (R+), Ё' = Ё' (Е_) - их представления Люксембурга, т. е. ПИП, для которых выполнены следующие соотношения:
Н/1|Я = Н/Ъ, 1Ы1* = 1№,
где /* - убывающая перестановка функции /, т.е. неотрицательная, убывающая, непрерывная справа функция на R+ = (0, оо), равноизмеримая с /:
ц„{х G R" : f{y) >у}= m{t е R+ : |/*(Ц| > у}, у G К+.
Введем понятие максимальной функции:

/*‘(0 = j J r(T)dr.

3.1 Оптимальные условия вложения при 1 < р < оо.
Пусть и - весовая функция, a U(t) = J u(s)ds. Кроме того, пусть р и р' связаны

соотношением - + Л = 1.

Теорема 3.1.
Положим «1 (£) = Vi{t) = f vi(r)dT.

Кроме того, пусть
В і — sup

Up(t) t2PuP (t)
Л”(ы)
dt < oo,
(3.4)
Тогда оптимальное ПИП для вложения ЯдР^(Кп) С Х(К”) имеет эквивалентную норму
11/11хо(К+) — И/Нг^ка)! (3.5)

(Р+р'-1 У1Ц)/Т-р'у1(г)Лг
Wl(t) =
Vi(t) + tr/ f T-p'vi(r)dT I
P+l '
(3.6)
Доказательство:
Мы опираемся на общую формулу (2.60).
По определению ассоциированных пространств для пространств Лоренца (см. Пример 1.3), мы можем записать норму оператора 9Ці00, применяемому к функциям из Ео (К+) в ассоциированном к базовому пространству Лр(м), 1 < р < оо:
ІІ^кгІІІлом' = ІІЯлооЬІІі

по определению пространства Лоренца (Пример 1.1.) имеем

/ лп ZT
Уи(і)
up'{t)

далее применим результат леммы 3.2, получим:
г оо оо
I J /ф(і,т)д*(т№
. о Lo
tp'u(t)
IFJt)
/р’11,(1) Up'(t)