О следах функций анизотропных пространств с дифференциально-разностными характеристиками на гладких многообразиях и в бесконечности

• Автор: Шмырев, Геннадий Александрович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 111 c. : ил

ГЛАВА I. О следах функций анизотропных пространств

Никольского-Бесова на гладких многообразиях 19 § I. Классы рассматриваемых функций.

Вспомогательные утверждения

§ 2. Классы рассматриваемых областей

§ 3. Граничные свойства функций на поверхностях

класса Гельдера

§ 4. Некоторые свойства функций, суммируемых

с весом

§ 5. Формулировка и доказательство теорем о

следах и продолжении с поверхностей

ГЛАВА II. О поведении на бесконечности функций, определяемых одним классом квазиэллип-тических операторов
Литература

В диссертации рассматриваются функции, принадлежащие анизотропным классам с дифференциально-разностными характеристиками, и исследуются вопросы, связанные со следами таких функций на гладких поверхностях и в бесконечности.
Обзор современного состояния теории вложения различных функциональных пространств, в частности, теории вложений разных измерений и обширную библиографию по данному вопросу можно найти в [I
Вопрос о граничных свойствах функций с локалъно-суммиру-емыми обобщенными производными до некоторого порядка впервые был рассмотрен С.Л.Соболевым в связи с исследованием полигар-монического уравнения (см. [ю] ). В дальнейшем эта проблематика интенсивно развивалась в исследованиях по различным задачам математической физики и теории функций. Например, при постановке краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений возникает вопрос о следах функций из соответствующих весовых классов [II - 25*} . Граничным свойствам различных весовых классов посвящены работы [26 - 3б1
В настоящее время наибольшей завершенности достигла теория следов изотропных (т.е. имеющих одинаковые свойства гладкости по всем переменный) классов функций. Это во многом объясняется тем, что такие классы, как классы С.Л.Соболева,
С.М.Никольского, 0.В.Бесова, инвариантны относительно гладкой замены переменных, что позволяет свести изучение следа функции на достаточно гладкой поверхности к плоскому случаю. Результаты теории вложений разных измерений, связанные с ослаблением гладкости границы, приведены в [36 - 421 , [юо!

следованию граничных свойств более общих классов функций посвящены работы [43 - 59 и др.
В анизотропном случае, т.е. когда свойства гладкости функций различны по разным координатам, до конца исследованными в настоящее время являются лишь следы на подпространствах [2] , [зЗ , [3lJ , [бО - 6b . Различие изотропных и анизотропных пространств проявляется хотя бы в том, что в анизотропном случае даже линейное преобразование может не сохранять класс, и свойства функции в области зависят не столько от гладкости границы, сколько от геометрии области. Характер такой зависимости исследовался в [зЗ , [41*3 , [бб - 681 . В работах [зЗ , [69 - 7l} приведены условия на область (условия £-рога, где £ - показатель гладкости класса), при которых теоремы вложения в области имеют тот же вид, что и во всем пространстве. Отметим также работы [42] , [70] , [94] ,[Ю0].
Анизотропные пространства могут быть инвариантны относительно специальных преобразований координат. Как было показано в [721 для весовых анизотропных соболевских пространств, достаточно гладкая замена переменных относительно "регулярной" координаты, не затрагивающая остальные переменные, сохраняет класс. Тем самым вопрос о следах в областях, граница которых имеет достаточно высокую гладкость и выражается через "регулярную" координату, сводится гладкой заменой переменных к известному случаю следов на подпространствах. Таким образом, в анизотропных пространствах для решения вопроса о следах достаточно изучить свойства функций на нерегулярных кусках границы. Для анизотропных пространств Соболева такое исследование было проведено в 03 , [ 741 , где были доказаны прямые и обратные теоремы о следах. В дальнейшем эти результаты были перенесены на весовые классы Соболева [7б1 и классы Бесова [7б1 . Близкие

Так как &р0Г(*) » го ЗТо^7) = о почти
всюду при ялГс о , откуда получаем к о г
(Г/(е)№Л1Тку)1Ц’,4?г= I /са)|т>Лк^|1)ч,)1рс1ч^
«Ем
• оо Е
П.-4.
= II Л
Таким образом
сИ1'г-<,‘-*>и(кан,а,

*с||1Ч.««- (з8>
Из (34) - (38) получаем
1|?С*’)в№)*С|15хес©- <39>
Оценка Ьр -нормы функции №) получается применением формулы Тейлора с остаточным членом в интегральной форме
<Лг41-1)
(первые члены исчезают, так как у-(о,эс^= • -•--Т (о,х'))
о £
в силу принадлежности гс*)6вр%са) )=