Интегральные операторы свертки и с однородными ядрами в пространстве ВМО

• Автор: Гиль, Алексей Викторович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Ростов-на-Дону
• Количество страниц: 148 с. : ил.

Введение стр4

Глава 1. Пространство В МО и оценки

средних значений

§1. Предварительные сведения

§2. Продолжимость функций в пространствах с ограниченной средней осцилляцией

§3. Оценки средних значений функции с ограниченной средней осцилляцией

§4. Дополнительные свойства функций с ограниченной средней осцилляцией

Глава 2. Операторы свёртки и Винера-Хопфа

§5. Оператор свёртки в пространстве ВМО

§6. Операторы Винера - Хопфа и с суммарным ядром в пространстве ВМО

§7. Оператор свёртки в пространстве ВМОк

§8. Оператор Винера-Хопфа в пространстве ВМОк
Глава 3. Операторы с однородными ядрами
§9. Ограниченность операторов с однородными ядрами в
ВМО{К) и УМО{К)
§10. Интегральный оператор с однородным ядром
в пространстве ВМО{К1)
§11. Интегральный оператор с однородным ядром в пространстве ВМО(0,1)
§12. Интегральный оператор с однородным ядром в пространстве ВМО{—1,1)
§13. Интегральный оператор с однородным ядром в пространстве ВМОк
§14. Интегральный оператор Харди-Литтлвуда в пространстве ВМО(Вп)
Литература
Список обозначений

В диссертации рассматриваются операторы свёртки, Винера-Хопфа и с однородными степени -1 ядрами в пространстве ВМОк, к € Z+- функций, с ограниченной средней осцилляцией А:-того порядка. Такие операторы имеют многочисленные приложения и хорошо изучены в пространствах суммируемых или гладких функций. Эти исследования по уравнениям типа свертки отражены в монографиях Ф.Д. Гахова и Ю.И. Черского [3], И.Ц. Гохберга и И.А. Фельдмана [6], 3. Пресдорфа [22], а по уравнениям с однородными степени -1 ядрами в монографиях Л.Г. Михайлова [21], А.П. Солдатова [29], Н.К. Карапетянца и С.Г. Самко [16], [34], И:Б.Симоненко
и.Нгок Чинь Минь [30], Р.В. Дудучавы [9], и др. В одномерной теории в пространствах Lp, 1 < р < оо, эти классы операторов тесно связаны между собой (с помощью экспоненциальных замен), а также с сингулярными интегральными операторами (с помощью преобразования Фурье- в случае сверток и преобразования Меллина- в случае операторов с однородными степени -1 ядрами). Эти связи приводят к соответствию оператор ядро *^=>-символ, что позволяет формулировать в терминах символа и его индекса основные свойства операторов, связанные с описанием их спектральных и фредгольмовских свойств. Пространства ВМО уже давно возникли в различных вопросах, связанных с интегральными,1 операторами. Именно в их терминах, например, описывается образ дробных интегралов и потенциалов Рисса в так называемом предельном случае теоремы Соболева, когда, а = пр. В терминах принадлежности к ВМО описываются классы функций, для которых коммутатор с. сингулярным интегральным оператором оказывается компактен и др. Пространства ВМО высших порядков оказываются тесно связанными с пространствами типа Бесова. Различные аспекты, связаные с ВМО пространствами нашли отражение в монографиях A. Torchincky [43], Дж. Гарнетт [2], Б.С. Кашин, A.A. Саакян

Лемма 3.10. Пусть f(x) G ВМО{Rn) и I = B(a,r) - шар e Rn. Тогда
fi < с\/\вмо, где с - 16 + + 4nlog2(2 + |а|). (3.12)
Доказательство. Пусть г < 1. Возьмём последовательность вложенных шаров I = ii с /г С ... С Ik С В(а, 1) с Д+ъ ГДе Д ■ шары вида B(a,jk), такие что |/*| = 2|4_i| = 2к~111 или jfc = = 2^л-
“ 1 А
Тогда 2~r < 1 < 2"г. Отсюда к < 1 — Легко показать, что 1/г* — fh~i < 2||/||*. Тогда
|/г|<|/г — /в(а, 1)1 + |/в(а,1)| < |/г — /г2| +'•■• + |fh - /в(а,1)1 + |/в(а,1)|-По лемме 3.8 имеем
|/г| < 2&||/||* + |/д(од) — /в(од)| + 1/в(о,1)| < 2к\/\вмо+
+(12+4nlog2(2+|a|))||/||* < ^16-2^r^H/|lBMO+4nlog2(2 + |a|)|i/H,. Случай г > 1 рассматривается аналогично. Л
Замечание 3.1. В частности, если B(A,R) некоторый шар в Rn, где А G Rn и R < оо - фиксированные, al — В (а, г) - шар, вложенный в B(A,R) и функция /(гг) G ВМО(В(А, R)). Тогда вместо (3.12) будет
fi < (с + d| 1пг|)||/||вМО(в(л,я)). (3.13)
Из леммы 3.10 и следствия из неравенства Джона-Ниренберга (1.9) выводится
Лемма 3.11. Пусть f(x) G ВМО(Rn), р > 1 и I = В(а,г) - шар в Rn. Тогда (|/|р)/ < cp\f\pBMO, с = Ср + 16 + + 4nlog2(2 + |a|).
Доказательство несложно и опускается.
2°. Оценки по вложенным шарам в ВМОк.