Оценка ряда Дирихле в полуполосе, показатели которого - нули произведения Вейерштрасса с нерегулярным поведением

• Автор: Сергеева, Дина Ильдаровна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Уфа
• Количество страниц: 96 с.

1. Исторические сведения

2. Обзор результатов и постановка задач

3. Основные результаты диссертации

Глава I. Целые функции экспоненциального типа, имеющие правильное поведение на ве -щественной оси

§1. Предварительные сведения

§2. Оценка произведения Вейерштрасса с правильным рас

пределением нулей

§3. Эффективная оценка произведения Вейерштрасса на лучах

Глава II. Построение целых функций с правильным поведением на вещественной оси

§1. Специальные плотности распределения положительных

последовательностей

§2. Существование целых функций экспоненциального типа с правильным поведением
Глава III. Оценка суммы ряда Дирихле в по-луполосе, последовательность показателей которого имеет нерегулярное распределение

§1. Предварительные факты
§2. Оценки порядка в полуплоскости через порядок в по
лу пол осе
§3. Основная теорема о точности оценок для порядка в по
луплоскости
§4. Примеры. Следствие для аналитических в единичном круге функций, представленных лакунарными степенными рядами
Литература

1. Исторические сведения
Изучение асимптотических свойств целых или аналитических в единичном круге функций в зависимости от поведения их тейлоровских коэффициентов является классическим направлением в теории функций и восходит к известным работам Ж. Адамара, опубликованным в конце XIX века. Огромный вклад в развитие этого направления внесли такие известные математики, как Э. Борель, А. Виман, Ж. Валирон, Д. Пойа и другие.
Еще в 1892 году Ж. Адамар указал формулы, выражающие порядок и тип целой функции через коэффициенты Тейлора [1]. Аналогичная задача для аналитических в единичном круге функций в терминах порядка и типа была решена М. Фуд-зивара [2], М.Н. Говоровым [3] и другими (см., например, в [4]).
Одной из важнейших проблем теории целых функций является проблема связи между ростом целой функции и распределением её корней, к которой сводятся многие задачи в различных областях, смежных с теорией функций комплексного переменного. Эта проблема исследована в работах Э. Бореля, Ж. Адамара, Линделефа и других математиков в конце XIX и начале XX в.

Глава II. Построение целых функций с правильным поведением на вещественной оси
§1. Специальные плотности распределения положительных последовательностей
Пусть Л = {Ап} (0 < Хп t оо)—последовательность, имеющая конечную верхнюю плотность, L—класс положительных, непрерывных и неограниченно возрастающих на [0, сю) функций. Через К обозначим подкласс функций h из L, таких, что h{0) = 0, h{t) = o(t) при t —>• 00, I при t t монотонно убывает при t > 0). В частности, если h Е К, то h{2t) < 2h{t) (t > 0), h{t) < h(l)t при t > 1.
А'—плотностью последовательности Л называется величина
G{K) = inf Im (2.1)
v ' hGKt-^oo h(t) v ;
где uj(t) = [t,t + h{t))—полуинтервал, дл(и;(£))—число точек из Л, попавших в полуинтервал u(t).
Пусть П = {сы}—семейство полуинтервалов вида uj — [а, 6). Через uj будем обозначать длину и>. Всякая последовательность Л = {Ап} (0 < п t 00) порождает целочисленную считающую меру цл:
/мМ = Г w Е Ü.