Применение теории порядка и типа оператора в локально выпуклых пространствах к исследованию аналитических задач для дифференциально-операторных уравнений

• Автор: Аксенов, Николай Александрович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Орел
• Количество страниц: 153 с.

Содержание
Введение

I. Задача Коши для дифференциально-операторных уравнений произвольного порядка

§1.1. Задача Коши для "однородного" уравнения в обобщённых

производных Гельфонда-Леонтьева

§1.2. Задача Коши для уравнения в частных производных с операторным коэффициентом

§1.3. Задача Коши для интегро-дифференциально-операторного

уравнения

§1.4. Абстрактная задача Коши с неклассическими начальными

условиями
II. Краевые задачи для дифференциально-операторных уравнений первого и второго порядка
§2.1. Краевые задачи для уравнения первого порядка
1. Краевая задача для уравнения первого порядка со сметанным оператором
2. Третья краевая задача для уравнения первого порядка со смешанным оператором в классе регулярных операторов
§2.2. Краевые задачи для уравнений второго порядка
1. Краевые задачи для неполного уравнения второго порядка
2. Краевые задачи для полного "однородного" уравнения второго порядка

III. Задача Коши для систем дифференциально-операторных уравнений
§3.1. Задача Коши для системы уравнений первого порядка
со смешанными операторами
§3.2. Задача Коши для системы уравнений произвольного порядка с переменными коэффициентами
Список литературы
—
Актуальность темы. Работа посвящена одному из применений теории порядка и типа оператора в локально выпуклых пространствах — исследованию аналитических задач для дифференциально-операторных уравнений. Начала этой теории были заложены В.П. Громовым в работе [27] и получили дальнейшее обобщение в работах С.Н. Мишина [71]-[73]. Чуть позже порядки и типы некоторых операторов, действующих в различных пространствах аналитических функций, были найдены С.В. Панюшкиным [78]-[80]. Основные результаты, относящиеся к общей теории порядка и типа оператора, приведены в монографии [35].
Ранее теория порядка и типа оператора была положена в основу решения ряда задач современного функционального анализа. К их числу, в частности, относятся: задача о представлении функций комплексных переменных рядами по собственным функциям линейного оператора [27]; задача о разложении векторов локально выпуклого пространства в обобщённый ряд Тейлора [28]; задача о полноте систем значений голоморфных вектор-функций [29], [89]; изучение характеристик роста целых векторнозначных функций [30], [31]; исследование подпространств локально выпуклого пространства, инвариантных относительно оператора конечных порядка и типа [90]; исследование решений операторных уравнений [31], [35] и др.
В настоящей диссертации разработаны методы исследования решений широкого круга аналитических задач для дифференциальнооператорных уравнений и их систем, поставленных в произвольном локально выпуклом пространстве, опирающиеся на теорию порядка и типа оператора. Необходимость таких методов обусловлена следующими
—
Здесь хп £ Н — коэффициенты голоморфной в круге z < R,

R < оо вектор-функции u(z) = xnzn, а ап — коэффициенты целой

скалярной функции1 f(z) = anzn, ап ^ 0, Vn, ао = 1, имеющей

нормальный порядок роста р(/) = р и нормальный тип роста <т(/) = а,
причём
lim п? у/|щ| = (стер)7. (1.3)
п-Аоо
Задача Коши. Найти вектор-функцию u(z), удовлетворяющую уравнению (1.1) и начальным условиям
Dkfu{z)z=0 = xk, xk е D^A), 0 < k < т - 1. (1.4)
Пусть оператор А1, 1 < I < т — 1 имеет обратный оператор А~1, и пусть Xi £ Im А1, 1 < I < т — 1. Имеет место
Теорема 1.2. /ац G К)фа[1/р, оо), 0 < А: < m — 1 задача Коши (1-1), (1-4) имеет единственное решение, являющееся гололюрфной в окрестности нуля вектор-функцией u(z) со значениями в пространстве Н, представимое равенством

u(z) =

ОО 771—1 jj
ui{z,Xi) = J2J2~тлг1^
е27г(0+1)т/(???+1)дп-г^ж^гп ^ 0^
7i=0 0=0 I I
З^есь |Л| = П (e2WO+l) _ е2тгдг/(т+1)-| _ 0Пределителъ циСЛОвОй
1 1Функция /(г) предполагается фиксированной. Её принято называть порожда-
ющей функцией оператора обобщённого дифференцирования.