Аппроксимация целыми функциями на подмножествах полуоси

• Автор: Сильванович, Ольга Васильевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 71 с.

Содержание

§0. Введение

Глава 1. Вспомогательные фукнции

§1. Множество аппроксимации и приближающие функции

§2. Масштабирующая функция

§3. Оценки функций <Ле(Ф) и

§4. Псевдоаналитическое продолжение функции

Глава 2. Прямая теорема приближения

Глава 3. Обратная теорема приближения

Список литературы

§0. Введение

В процессе решения поставленной проблемы приближения последовательно решается ряд вопросов:
• Каким условиям должна удовлетворять комплекснозначная функция для того, чтобы некоторая сколь угодно хорошая весовая аппроксимация на некотором подмножестве 1К+ целыми фукнциями из определённого класса была возможна.
• Каким должен быть класс приближающих функций.
• Каким образом строить функции, осуществляющие указанное весовое приближение рассматриваемых функций на заданном подмножестве К+.
• Возможно ли получить конструктивную характеристику функций из рассматриваемого класса непрерывных функций.
Все эти вопросы возникли в ходе исследования общей проблемы аппроксимации целыми функциями на различных областях комплексной плоскости. Ранее ответы на аналогичные вопросы для случая всей полуоси были получены в работе [7]. А именно, там была решена задача о весовом приближении функций класса Гёльдера на всей полуоси целыми функциями порядка из специально подобранного класса. При этом удалось доказать прямую и соответствующую обратную теоремы

приближения, что позволило говорить о конструктивном описании рассматриваемого класса непрерывных функций. Изменение области приближения привело к постановке сформулированных выше вопросов, появилась новая проблема конструктивного описания некоторого класса непрерывных функций, а также оценки скорости их весовых приближений.
Актуальность темы. Несмотря на то, что аппроксимация целыми функциями составляет сейчас большую ветвь комплексного анализа, некоторые вполне естественные вопросы остаются пока без ответов. К числу подобных проблем относится и конструктивное описание классов непрерывных функций, скорость их весовых приближений. Диссертация выполнена в русле этой тематики и потому актуальна.
Цель работы состоит в формулировании и доказательстве соответствующих прямой и обратной теорем приближения целыми функциями, что даёт возможность говорить о получении конструктивного описания класса гладкости функции из классов типа Гёльдера при помощи скорости весового приближения.
Основные результаты работы.
• Са'ш) - класс целых функций порядка и переменного типа а > 0, с нормой, задаваемой равенством
Доказательство. Пусть
ç(0 - Ф(Л{-(0), CGC+, (36)
[Д, Д] = Л(К) (dCfa п {С : ICI Н 3£?о})
Тогда функция g из (36) отображает [Д, Д] в некоторый отрезок [—А, А]. Поэтому д(() продолжается по принципу симметрии Шварца через (Д, Д) до функции,-аналитической и однолистной в
СД = С((—оо,Д]и[Д,оо)).
Отсюда, в любом компакте Т С СП имеем оценки
О < Сг(Т) д'(() с2(Т), (еТ (37)
и тогда (37) влечёт
k(Ci) - 9(Сг)| - |Ci ~ C2I, С1Д2 е Т, (38)
где постоянные в х зависят от Т. При этом соотношения (38) эквивалентны (35), поскольку образ
Л(к) С Сщ П {С : |С| 2Во} С С.
- компакт.
Лемма 6 доказана.
Далее, для величин
|С-Ф'1(Ф(С)±)|, С е К+ (39)
известны оценки (см.[13]), следовательно, (32),(33) и (35) влекут, что известны и подобные оценки для
|C-Aÿ)(Aw(0+t/i)|, С G дС+к). (40)