Интерполяционные L-сплайны и задачи оптимального восстановления

• Автор: Сазанов, Анатолий Анатольевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 115 с.

Содержание
0. Введение

0.1 История вопроса

0.2 Постановка задачи

0.3 Краткое содержание диссертации

1. Обобщенные интерполяционные сплайны, порожденные возмущенным оператором

1.1 Существование, единственность и аппроксимативные свойства обобщенных интерполяционных сплайнов

1.2 Обобщенные интерполяционные сплайны, построенные

по приближенному оператору

1.3 Неравенства типа Маркова для обобщенных интерполяционных сплайнов

2. Интерполяционные С -сплайны

2.1 Оценки погрешности полиномиальной сплайн-интерполяции .
2.2 Аппроксимативные свойства интерполяционных £-сплайнов
2.3 Аппроксимативные свойства интерполяционных С-сплайнов, построенных по приближенному оператору
3. Некоторые экстремальные задачи и интерполяционные
С -сплайны
3.1 Асимптотика линейных и колмогоровс.ких поперечников классов
в метрике А,
3.2 Задача оптимального восстановления и ее связь с интерполяционными С -сплайнами
Сокращения
Основные обозначения и определения к главе
Основные обозначения и определения к главе
Основные обозначения и определения к главе
Список литературы
О Введение
0.1 История вопроса
Полиномиальные сплайны как самостоятельный аппарат приближения был введен Шёнбергом [42] в 1946 г., однако и ранее кусочнополиномиальные функции использовались как в численном анализе (ломаные Эйлера), так и в качестве экстремальных функций в работах Ж.Фавара, А.Н.Колмогорова, С.М.Никольского и других математиков. Дальнейшие исследования по приближению классов гладких функций показали, что полиномиальные сплайны дают минимально возможную погрешность приближения среди подпространств заданной размерности, т.е. реализуют га-поперечник (по Колмогорову, линейный и др.). Более того, оказалось, что этим экстремальным свойством обладают не только полиномиальные сплайны наилучшего приближения, но и полиномиальные интерполяционные сплайны. Именно они во многих случаях решают задачу оптимального восстановления функции и ее производных по имеющейся дискретной информации о функции. Подробный обзор результатов по этой тематике приведен в монографиях: Дж.Алберг, Э.Нильсон, Дж.Уолш [2], В.М.Тихомиров [28], Н.П.Корнейчук [14], [17], Л.Шумейкер [44] и др.
Аппарат полиномиальных сплайнов оказался удобным и при решении задач вычислительной математики. Эти вопросы достаточно подробно освещены в монографиях: В.А.Василенко [5], С.Б.Стечкин, Ю.Н.Субботин [23], Ю.С.Завьялов, Б.И.Квасов, В.Л.Мирошниченко [10],
А.И. Гребенников [8] и др.
С -сплайны также были введены Шенбергом [43], здесь С - линейный дифференциальный оператор. Развитие теории С -сплайнов бы-ло во многом обусловлено потребностями вычислительной математики. В частности, требовалось восстанавливать решения дифференциальных
уравнений вида Сх{£) = у{£) (краевая задача, задача Коши), которые при приближенном решении уравнений, часто получались в виде сеточных функций (например, в случае, когда задача решалась разностным методом). Обзор работ в этом направлении имеется в монографиях [2], [4], [8], [10], [23] и др.
Вопросам обобщения понятия сплайн и изучению аппроксимативных свойств сплайнов различной природы также посвящено большое число работ. Первый шаг в этом направлении, как отмечено выше, сделал Шенберг [43], рассмотревший тригонометрические сплайны. На следующем этапе были введены интерполяционные сплайны, порожденные некоторым линейным дифференциальным оператором, при различных ограничениях. Дальнейшее обобщение понятия "интерполяционный сплайн" происходило в основном в двух направлениях: с одной стороны ослаблялись ограничения на оператор, с другой стороны обобщение достигалось за счет расширения способа интерполяции. Одновременно развивался абстрактный подход к теории сплайнов в гильбертовом пространстве; при этом подходе интерполяционный сплайн определяется как решение некоторой экстремальной задачи. Большой вклад в вариационное направление внесли Аттиа [34], Анселон, Лоран [33], В.А.Василенко [5],
В.А.Морозов, А.И.Гребенников [7] (см. также [2], [19], [35]). Дальнейшее развитие этот подход получил, например, в работах [36], [37] и ряде других.
Нами предложено определение интерполяционного сплайна в линейном нормированном пространстве как соответствующего элемента из ядра некоторого расширения А, заданного линейного оператора Ао (точное определение дано в главе 1).: Содержательность данного определения показано на примере изучавшихся ранее интерполяционных £ -сплайнов. Для которых установлены новые теоремы существования и единственности и получен ряд новых асимптотически точных результа-
W(Со, К) = {х 6 D(C0) : С0Х € А'},
W(C, К) = {х Ш D(C) : Сх е К),
W(Lo,K) = {т е D(Lo) : box 6 А'}.
Отметим, что поскольку R(Lq) = У, то Vy € К Зх G .D(Lo), Для которого £0я = У* Пусть
72= sup i]Au- сг)}1, (1.8)
(здесь a есть ИС для х ).
Предложение 1.1. Пусть выполнены условия теоремы 1.2. Тогда имеют место следующие неравенства:
7г(1 + 7i)-1 < sup \А(х - s)||x < 72(1 - 71)“1, (1.9)
xeW{C0,K)
причем вместо класса W(Cg,K) можно взять W(C,K).
Доказательство. Из (1.7) имеем для х е W(Co, К) Л(ж — s) = KRy — ARA(x — s). Отсюда получаем ||Л(т - s)||i < 72 + 7i||A(a.- -s) 111, Т.е.
ЦЛ(аз — s)И1 < 72(1 — 7i)_1; (1.10)
здесь y = Сох. Аналогичным образом, используя неравенство треугольника, находим
Л(я - s)||x > (1 + 7i)_1!|AAi/j|i. (1.11)
Переходя в (1.10) и (1.11) к верхней грани по классу W(Co, К), получаем неравенства (1.9).
Поскольку верхняя грань определяется множеством К, то вместо W(Co,K) в (1.9) можно взять класс W(C, К), т.к. W(C,K) = W(Co, К) + N(C). Предложение 1.1 доказано.
Замечание 1.4. Как правило рассматривается последовательность ИС <7„ (соответственно ОИС sn ) относительно множеств Fn. В этом