Преобразование Радона аналитических функций

• Автор: Ломакин, Денис Евгеньевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Ростов-на-Дону
• Количество страниц: 155 с.

1 Преобразование Радона целых функций многих комплексных переменных

1.1 Преобразование Радона целых функций многих комплексных переменных как регулярных обобщенных функций

1.2 Теорема единственности

1.3 Свойства оператора Л0

1.4 Оператор преобразования Радона в весовых пространствах целых функций индуктивного типа
1.5 Оператор преобразования Радона в весовых пространствах целых функций проективного типа

2 Применение свойств преобразования Радона целых

функций к некоторым вопросам многомерного комплексного анализа

2.1 Построение полных систем функций в пространствах целых функций

2.2 Представление целых функций многих комплексных переменных рядами типа рядов обобщенных экспонент

2.3 Преобразование Радона аналитических функционалов

2.4 Применения преобразования Радона аналитических функционалов к изучению свойств решений многомерных уравнений свертки
Литература

Актуальность темы.
Преобразование Радона было введено И. Радоном в статье, опубликованной в 1917 году (см. [75]). Оно сопоставляет функции / на плоскости функцию / на множестве всех прямых, задаваемую интегралами от / вдоль прямых. И. Радону удалось получить явную формулу обращения, выражающую функцию / через / . Аналоги этого преобразования, названного впоследствии преобразованием Радона, встречались и ранее, например, в работах Г.А. Лоренца, Г. Минковского и П. Функа, однако именно в статье Радона была поставлена задача об изучении преобразований типа / —> / на различных пространствах и намечены меюды исследования таких преобразований.
Тем самым было положено начало новому направлению, часто называемому интегральной геометрией, предмет которой состоит в изучении преобразований, сопоставляющих для данной функции / на многообразии X функцию / на некотором семействе X подмногообразий многообразия X , задаваемую интегралами от / вдоль подмногообразий этого семейства. Задачи указанного типа часто встречаются в различных областях математики (дифференциальные уравнения, математическая физика, теория представлений и т.д.), что в значительной степени стимулировало развитие этого направления.
Преобразование Радона нашло применение в рентгеновской диагностике, точнее в ее области — вычислительной томографии, а также в геофизике и радиоастрономии.
Преобразование Радона является объектом исследования в течение достаточно длительного периода. Свойства преобразования Радона

на пространствах распределений исследовались в работах И.М. Гель-фанда, М.М. Граева, Н.Я. Виленкина [5], С. Хелгасоиа [60],[61], А. Херт-ле [68],[69], Д. Людвига [72], А.Б. Секерина [76], [77], [89], и др. Следует огменпъ, что, в отличие от действительного случая, комплексное преобразование Радона распределений мало изучено.
В данной работе изучаются свойства преобразования Радона распределений в комплексном пространстве, задаваемых регулярными функциями из пространств целых функций многих комплексных переменных.
Основные цели работы.
• Получение явного вида оператора, ставящего в соогвеютвне произвольной целой функции (как обобщенной) ее преобразование Радона.
• Выделение класса функций, в котором преобразование Радона целых функций определяестся единственным образом.
• Описание образа преобразования Радона пространства всех целых функций Я(С") , а также весовых пространств целых функций индуктивного и проективного типов.
• Применение свойств преобразования Радона к вопросам полноты систем целых функций в различных пространствах целых функций многих переменных, к вопросу о разложении целых функций многих переменных в ряды типа рядов обобщенных экспонент.
• Описание образа преобразования Радона сопряженного про-аранства к пространству всех целых функций многих переменных. Представление преобразования Радона аналитического функционала рядом из функционалов, сходящимся в сильной топологии пространства сопряженного к пространству всех целых функций. Применение преобразования Радона аналитических функционалов к изучению свойств

Если ш0 = тах(т1,т2 ті/),еп = тш(єьє2,—,£«/), 'ю
К, = {«(в, и») Є [з|2,,-2#с»(С х в2'1-1) : (|и||Ш0 < е0} С V.
Покажем, что существует окрестность нуля ІV в Я (С”) такая, что В{\г) С У С V . Положим
IV = Щ(2) € //(С”) : ||Т||,„Р <
где 5 — Єо((п - I)!)2/(2 п~2Ь„). Зафиксируем С (г) є \г. Имеем:
шах |С(г)| < 5.
|г|<т0
Заменим, что при £ Є [0,6’] справедлива оценка
|б-/|п"2 < (2|в|)и-2.
Подействуем на функцию С(г) оператором В. Пусіь |з| < то . Имеем:
1ММ)1

(п - 1)! (п — 2)!
(5 - і)п-2С(іш)(П

й 6" (|Г- Iі)! (,,-2)! I У
Так как
шах Ю(Ш) < шах < шах |(7(~)| < 5,
И.шР.ЧЗп-! |ч|<то,шЄ52" 1 ІгКгііи
(Є[0,ч],и'Є52
|<7Н|)

рС](б,га)| < 5Ьп
І?1-1!
(п - 1)! (п - 2)!
(з-0"“2|И
-2 і
2n
((п - I)!)2'
Тогда
І [ЄС]Ь,.»)Щ„„_2„
шах г-тт;—" < 2 оип
р|<7ло,аС.9гп-1 |б
|2п-2 -
"((п-1)!)
2 "