Приближенные методы решения краевых задач типа Гильберта и типа Римана для бианалитических функций

• Автор: Кристалинский, Владимир Романович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Смоленск
• Количество страниц: 114 с. : ил

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА ВТОРОГО РОДА
1Л. Об оценках погрешности аппроксимации некоторых интегральных операторов
1.2. О сходимости используемых приближенных схем для решения интегральных уравнений Фредгольма второго рода
ГЛАВА 2. МЕТОДЫ ПРИБЛИЖЕННОГО ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ ТИПА КОШИ
2.1. Приближенное вычисление интеграла типа Коши во внутренности контура
2.2. Пример приближенного вычисления интеграла типа
Коши по улитке Паскаля
2.3. Приближенное вычисление интеграла типа Коши во
внешности контура
2.4. Пример приближенного вычисления интеграла типа
Коши во внешности эллипса
2.5. Об оценке погрешности вычисления интеграла типа Коши в случае замены функции, задающей конформное отображение, ее приближением
ГЛАВА 3. О ПРИБЛИЖЕННОМ РЕШЕНИИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ТИПА ГИЛЬБЕРТА ДЛЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ И БИАНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
3.1.0 приближенном решении краевой задачи Гильберта для аналитических функций

3.2. Оценка погрешности приближенного решения задачи Гильберта
3.3. О приближенном решении обобщенной краевой задачи типа Гильберта для аналитических функций
3.4. Об оценке погрешности решения интегрального уравнения Фредгольма, связанного с обобщенной задачей Гильберта
3.5. О приближенном решении краевой задачи типа Гильберта для бианалитических функций
3.6. Об оценке погрешности приближенного метода решения краевой задачи типа Гильберта для бианалитических функций
3.7. О приближенном решении некоторых задач теории упругости
ГЛАВА 4.0 ПРИБЛИЖЕННОМ РЕШЕНИИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ТИПА РИМАНА ДЛЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ И БИАНАЛИТИЧЕСКИХ
ФУНКЦИЙ
4.1. О приближенном решении краевой задачи Римана
для аналитических функций
4.2. О приближенном решении обобщенной краевой
задачи типа Римана для аналитических функций
4.3. О приближенном решении краевой задачи типа
Римана для бианалитических функций
4.4. Об оценке погрешности приближенного метода решения
краевой задачи типа Римана для бианалитических функций
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
ПРИЛОЖЕНИЕ Решение краевой задачи типа Гильберта для бианалитических функций в круге

ВВЕДЕНИЕ
Данная диссертационная работа посвящена разработке приближенных методов решения краевых задач типа Гильберта и типа Римана для бианали-тических функций.
Полианалитической функцией порядка п{п-аналитической) в некоторой области Г) называется ([4], [16], [82], [117], [129], [130]) функция
р{г) = и{х,у)+ №{х,у)
комплексного переменного г = х + гу, которая имеет в В частные производные по х и у до порядка п включительно и удовлетворяет там уравнению
дпР(г)

д . д
_____ і
дх ду
дифференциальный оператор Коши-Римана,

п& И, п>2.
Полианалитическая функция порядка п- 2 называется бианалитической. Действительная и мнимая части бианалитической функции являются бигар-моническими функциями.
Одна из основных краевых задач типа Гильберта (см. [16], с. 301, или [106], с. 165) для бианалитических функций может быть сформулирована следующим образом.
Пусть простой замкнутый гладкий контур Ь ограничивает конечную односвязную область В+, а £>~= С (г>+их).
Требуется определить в области ГУ бианалитическую функцию Г (г) = и(х,у) + р(х,у), непрерывно продолжающуюся на контур I вместе со своими частными производными первого порядка, по краевым условиям:

(0.1)
ду ду
где ак (О, ь* (0, с* (0 (* = 1,2)- заданные на Ь действительные функции комплексного аргумента, удовлетворяющие условию Гельдера вместе со

102 -0,1 О£0<2*
;я(ф))

0<9<2тс
^(в)-45.И5(з+|плКй)
Следовательно,
Ит1»ю*(3 + ЬяХя»+2Ш.М)-
Так как функция Т (о) принадлежит классу Нар, то для некоторой константы к имеет место соотношение

(см. [45], с. 76)
Так как функция р{е‘в ) имеет производную Р1 (Ф) из класса Нар, то

Следовательно,
(х)Щ,ф(3+М
ЕП{Р)<
36 к 6Мк
1+огД
й1+аР й“Р
3 + 1пй

+ 6Мк
■ (2.4)
Дальнейшие рассуждения такие же, как и в предыдущей теореме.
Теорема 2.3. Пусть:
1) односвязная область В+ ограничена контуром Ь;
2) т = 7(5) -уравнение контура Ь, отнесенное к натуральному параметру в;
3) т = 7(5) т раз дифференцируема (т>2),
4) плотность интеграла типа Коши /{у) удовлетворяет условию: функция /(7(5)) /раз дифференцируема (1>т).
Тогда существуют константы ё0 и дх, не зависящие от п, для которых имеет место соотношение
тах|ф+(г)-Ф;(г)|<
3 + 1пй

-+ СІЛ
(2.5)