Обобщенные интегралы и вопросы единственности для двумерных рядов Хаара и Уолша

• Автор: Плотников, Михаил Геннадьевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 162 с.

Содержание

1 Некоторые вопросы единственности для двумерных рядов

Хйс1рЭ|

§1.1 Определения и вспомогательные утверждения

§ 1.2 О множествах единственности для рядов Хаара с условием

_^^0„р„М^оо„тт(|;!)>2,,

§ 1.3 Одно замечание о р-регулярной сходимости

§ 1.4 О множествах единственности для рядов Хаара с условием

Змм{х,у) = о({ЫМ)1-а)

§ 1.5 О множествах единственности для двумерных рядов Хаара при

сходимости по квадратам

2 О единственности представления функций двумерными рядами Хаара
§ 2.1 Определения и вспомогательные утверждения
§ 2.2 Представление сходящихся двумерных рядов Хаара, как рядов
Фурье
3 Некоторые свойства многомерных обобщенных интегралов и их применение к двумерным рядам Хаара
§ 3.1 Определения и вспомогательные утверждения
§ 3.2 О характеризации (#рд)-интеграла
§ 3.3 Об одном двоичном интеграле перроновского типа
§ 3.4 О двумерных рядах Хаара, всюду сходящихся р-регулярно к
функции, интегрируемой по Перрону в р-регулярном смысле .
4 О множествах единственности для рядов Уолша
§ 4.1 Определения и вспомогательные утверждения
§ 4.2 О соответствии между двумерными рядами Уолша и аддитивными функциями двоичного интервала
§ 4.3 О множествах единственности для двумерных рядов Уолша .

Введение
Диссертация посвящена вопросам единственности для двумерных рядов Хаара и Уолша, а также приложениям к решению этих вопросов некоторых сведений из теории многомерных обобщенных интегралов. Все это относится к той области анализа, которую принято называть действительным анализом.
Изучение вопросов единственности для рядов Хаара получило активное развитие в 60-70-х годах XX века в работах М.Б. Петровской, В.А. Скворцова, Г.М. Мушегяна, Х.О. Мовсисяна, Ф.Г. Арутюняна, A.A. Талаляна и других. При этом рассматривались как одномерные, так и многомерные (чаще всего двумерные) ряды Хаара. В этот период времени были получены наиболее интересные результаты в данной области. Позже были получены результаты в работах тех же В.А. Скворцова, A.A. Талаляна, а также H.A. Бакаева, В. Уэйда и других. Вопросы единственности для (одномерных) рядов Уолгна изучались во второй половине XX века A.A. Шнейдером, Д. Кури, В.А. Скворцовым, Н.Д. Файном, В. Уэйдом и другими. Вопросам же единственности для многомерных рядов Уолша посвящено не так много работ, среди которых можно выделить результаты С.Ф. Лукомского, полученные им в 80-е годы.
Что же касается теории обобщенных интегралов, то эта область действительного анализа интенсивно развивалась в течение всего XX века, но нам в связи с изучением рядов Хаара интересна лишь небольшая часть этой теории, и об этом мы поговорим чуть позже.
Отметим, что постановка многих вопросов о единственности представления функций рядами является общей для различных ортогональных систем функций. Особенно важными являются понятия [/-множеств и М-множеств для рядов по некоторой системе функций. Напомним, что если {/п(ж)} есть система функций, определенных на некотором подмножестве S числовой прямой, плоскости, либо, в общем случае, евклидова пространства М.", то множество А 6 S называется М-множеством для рядов anfn(x), если су-

ществует ряд anfn{x), сходящийся к нулю вне А и имеющий хотя бы один п
ненулевой коэффициент ап. Если А Е S не является М-множеством для рядов X)an/n(®)i т° в этом случае А называется U-множеством для подобных рядов.
Часто оказывается, что ряд, сходящийся вне некоторого [/-множества к

конечной функции /(ж), является рядом Фурье функции /(ж) относительного некоторого обобщенного интеграла, то есть коэффициенты ряда находятся по формулам Фурье ап = //(ж)/„(ж) dx (если система {/п(ж)} — ортонорми-рована). Известно, например, (см. [3, том 2, стр. 138]), что если тригонометрический ряд сходится к функции /(ж) вне некоторого счетного множества (которое, как известно, является {/-множеством для тригонометрических рядов), то данный ряд есть ряд Фурье относительного некоторого интеграла, обобщающего интеграл Лебега, и называемого (М2)-интегралом. Аналогично, если ряд Хаара всюду на [0,1] сходится к конечной функции /(ж) (то есть сходится к /(ж) вне пустого множества, которое является {/-множеством для рядов Хаара), то данный ряд Фурье является рядом Фурье относительно (ЯЛ)-интеграла, определенного в работе [15]. Таким образом, в таких ситуациях функция /(ж), определенная вне {/-множества,может лишь единственным образом представляться как сумма соответствующего ряда.
Стоит отметить известные теоремы для одномерного случая, установленные И.И. Приваловым (для для тригонометрической системы, см. [12]) и В.А. Скворцовым (для системы Уолша, см. [17]). Они гласят, что если ряд по соответствующей системе сходится вне замкнутого {/-множества к измеримой и конечной функции /(ж), то данный ряд есть ряд Фурье функции /(ж). При том, что {/-множество в этих теоремах предполагается любым, лишь замкнутым, что является достоинством этих теорем, небольшим недостатком является то, что /(ж) предполагается измеримой. В нашей работе мы не накладываем никаких ограничений на /(ж, у), когда представляем ее рядом Фурье вне {/-множеств, но при этом рассматриваем не все (/-множества. Оговоримся, что раз /(ж) не является суммируемой, то под рядом Фурье мы подразумеваем ряд Фурье относительного какого-то обобщенного интеграла, который заведомо не покрывается интегралом Лебега и даже основными известными обобщенными интегралами.
Диссертация посвящена двумерным рядам Хаара и Уолша, а в двумерном случае (как и в случае размерности п ^ 2) очень важно определить, что мы понимаем под сходимостью соответствующих рядов. В нашей работе
рассматривается д-регулярная сходимость по прямоугольникам. Ряд Хаара
+ 00 +
ЕЕ«» ,тХп,т(х, У) Д-регуЛЯрНО СХОДИТСЯ К Сумме S(Ж, у) В ТОЧКв (ж, у), вС-
га=177г=

ли последовательность частичных сумм (*,») = Е Е &п,тХп,т (х,у)
П=1 771=

J3, которое либо принадлежит R X. I, и для любой точки которого не выполняется условие (14), примененное к функции Фх; либо принадлежит I х х R, причем для любой точки множества В не выполняется условие (15), примененное к функции Фх- В любом случае мы получаем противоречие, доказывающее теорему. □
§1.3. Одно замечание о р-регулярной сходимости
Здесь мы приведем один пример, показывающий, насколько общей является р-регулярная сходимость, о которой мы ведем речь в данной работе.
В многократно упоминавшейся работе [21] показывается, что если ряд (1) сходится всюду на единичном квадрате но прямоугольникам, т.е.без усло-
1 • ^ntmi ,-s
вия регулярности, то выполняется не только условие lim --------- Г- = О в
к,1—>оо ХицпгДж, у)
любой точке квадрата [0,1], которое естественным образом следует из сходимости ряда (1) по прямоугольникам, но и гораздо более сильное условие
lim — -п^- - = 0 (16)
к+1-+са ПктiX, у)
Мы показали в начале пункта 2, что из р-регулярной сходимости ряда (1) в точке (ж, у) следует условие (10), которое, напомним, имеет вид lim -------------—- = 0. Фактически это все, что можно извлечь из
р-регулярной сходимости. Мы покажем, что из сходимости ряда (1) р-регулярно всюду на [0,1]2 в отдельной точке может даже не выполняться условие
не говоря уже о более сильных условиях (15) и (16).
Напомним, что мы используем р = 1/27, где 7 — натуральное число.
В этом пункте мы будем строить ряд в явном виде, а не с помощью функции Ф(Д).
Выберем произвольную точку (ЖО) 2/0)1 ДЛЯ простоты пусть Хо,уоЄІ. Пусть {Д*д} — основная последовательность двоичных интервалов для (жо, уо). Положим ак,т — ат,к = 0 для любого т > 1, к ^ 27+2. Пусть Щ, ті ~ такие номера, что 2к~г < щ ^ 2к, 21~г < пц ^ 21, к, I ^ 7 + 2 и ьиррхпіьті = Д*-і,г-і- Выберем последовательность (произвольную) С а > 0.
к,1^г+оо
ХпкШі {ХіУ)