Приближения по произвольным системам элементов гильбертова пространства и бесконечные матричные уравнения

• Автор: Брюханов, Александр Константинович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1983
• Место защиты: Свердловск
• Количество страниц: 90 c. : ил

Введение

Глава I. Приближения Зейделя по системам элементов

гильбертова пространства

§ I. Приближения Зейделя

§ 2. Аналог неравенства Бесселя и слабая сходимость приближений Зейделя

§ 3. О сильной сходимости приближений Зейделя

§ 4. .Аналог теоремы Фишера-Риоса

§ 5. Приближения Зейделя по конечны?,1 системам

элементов
§ 6. Распространение результатов приближения по конечным системам на случай счетных систем
элементов
Глава II.Бесконечные матричные уравнения
§ I. Два представления б.м.у. в гильбертовом
пространстве
§ 2. Критерий существования приближенных решений б.м.у
§ 3. Теорема Маркова и критерий совместности
б.м.у
§ 4. Необходимое условие единственности решения
б.м.у. и другие признаки его существования
§ 5. О некоторых частных решениях б.м.у
Литература

Настоящая работа посвящена вопросу аппроксимации в гильбертовом пространстве и общей теории бесконечных матричных уравнений. Рассматривается случай когда приближения к каждому элементу гильбертова постранства строятся как конечные линейные комбинации элементов некоторой наперёд заданной счётной системы
из этого же пространства. Б е а конечное мат -ричное уравнение /б;м.у;/ - это одно из общепринятых названий счётной совокупности линейных уравнений
Целью настоящей работы является обоснование и изучение свойств предлогаемого в ней способа построения приближений в гильбертовом пространстве и приложение полученных результатов к общей теории б.м.у.
Изучению вопросов построения приближений конечными линейными комбинациями некоторой счётной системы элементов гильбертова пространства посвящена обширная литература. Если система ортогональна, то для построения приближений используется широко известный метод Фурье /см., например, [2], стр. 88-93, Сз] , стр. 161-168, С4] , стр. 273-275, [5] , стр. 39-40/. С помощью определителей Грамма можно сделать то же самое, если система элементов неортогональна, но линейно независима /см. Сб] , стр. 491-511, С7] , стр. 42-46 С83 ,

(2)
К^1
где Оіік, ді - данные, а £/< - неизвестные действительные, числа.

стр. 18-29/. Такие способы построения приближений широко использовались и используются для решения различных видов уравнений / см. СП , стр. 11-28, С.7] , стр; 174-179, 333 -
338, ЦО] , стр. 101-127, [15] , стр. 214-217, [16] , стр; 369-396, и т.д./. Представляют большой интерес и такие способы, которые позволяют строить приближения по любым, например, линейно зависимым системам элементов.В книге С9] ,стр. 31-165, показано,как с. помощью одного из таких способов значительно расширяются возможности приближённого решения граничных задач. При этом нет необходимости отыскивать элементы нарушающие линейную независимость системы, что »зачастую, является довольно трудоёмкой задачей. Многие из способов построения приближений оказываются полезными при изучении свойств систем элементов гильбертова пространства. К сожалению, не всякая последовательность приближений, построеная последним из выше упомянутых способов, будет сходиться даже покоординатно.
0 б.м.у,- же в книге А.В.Канторовича, В.й.Крылова / ш, стр. 29/ говорится: "Теория бесконечных систем уравнений с бесчисленным множествам неизвестных начала разрабатываться в конце прошлого века; в настоящее время имеется обширная литература, посвящённая ей. До сих пор, однако, эта теория не получила вполне законченного вида'.’ Действительно, записанные в равносильном виде
й£-£<*«£*=& Л**,
б.м.у. изучались Кохом в случае, когда сходится ряд

Единственность элемента очевидна.!!
Доказанная теорема остается справедливой, если в ней условие ограниченности суммы (5,14) , заменить условием ограниченности
ченной при с<^ , необходимо и достаточно, чтобы была ограниченной сумма (5.15)
Необходимость. Пусть (5.14) ограничена. Тогда, как показано в предыдущей теореме, последователь-НОСТЬ элементов Ы-П' •/ сильно сходится к элементу £ £■ Н Значит существует
гь т
так как имеет место
Л е м м а 2. Для того чтобы сумма (5.14) была ограни-

и, следовательно, ( 5.15) ограничена.
Достаточность. Теперь пусть сумма ( 5.15) ограничена при П со . Для элементов
имеем