Приближение алгебраическими многочленами функций с данным обобщенным несимметричным модулем гладкости

• Автор: Напеденина, Анастасия Юрьевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 114 с.

Содержание
Введение
Основные определения и обозначения
1 Совпадение классов функций, характеризуемых несимметричным оператором обобщенного сдвига, и классов функций с данным порядком наилучшего приближения
1.1 Вспомогательные утверждения
1.2 Свойства оператора 7у(/,т)
1.3 Приближение функций с заданной структурной характеристикой
1.4 Структурные характеристики классов функций с данным порядком наилучшего приближения
2 Прямая и обратная теоремы теории приближений
2.1 Свойства оператора Гу(/,х)
2.2 Свойства оператора //(/, х)
2.3 Связь /^-функционала и обобщенного модуля гладкости
2.4 Связь между обобщенным модулем гладкости и наилучшими приближениями алгебраическими многочленами
Список литературы

Введение
Одна из основных задач теории приближений состоит в определении связей между структурными свойствами функции и порядком ее наилучших приближений полиномами. Можно выделить две исторически сложившиеся постановки задачи:
1) сравнение классов функций, модуль гладкости которых имеет данный порядок убывания, и классов функций с соответствующим порядком приближения полиномами;
2) оценка наилучшего приближения функции полиномами через модуль гладкости этой функции (прямая теорема теории приближений); оценка модуля гладкости функции посредством наилучших приближений полиномами этой функции (обратная теорема теории приближений).
Рассмотрим сначала периодический случай. Будем говорить, что 2л-периодическая функция F(x) £ £р.[0;2л], 1 ^ р ^ +оо, если
для 1 ^ р < +оо F(x) - измерима на отрезке [0; 2л] и

/ F(x)pdx I < +оо,
для р = +оо F(x) - непрерывна на отрезке [0; 2л] и Halloo. = ||F||c.=om^jF(a:)|.
Через En(F)p. обозначим наилучшее приближение функции F(x) £ £р.[0;2л] тригонометрическими полиномами Т„_i порядка не выше, чем (п — 1), в метрике Lp., т.е.
En(F)p- — inf ||F — Tn-iHp*.

Структурные свойства функции будем выражать через модуль гладкости wr(F,S)p• этой функции, который определяется следующим образом:
uj(F,5)p. = sup ||F(a: + h) - F(x)||p. = sup ||A^F||p. для r = 1;
hW |fc|^
wr(F,5)p. = sup ||A^F||p. для r ^ 2, r £ N,

где AlF = A(ArlF).
Еще в начале прошлого века возникли задачи: зная порядок наилучшего приближения функции, выяснить ее структурные свойства, и наоборот, выяснить, какие свойства функции влияют на скорость стремления к нулю последовательности ее наилучших приближений (см. [1]—[4]).
ВВЕДЕНИЕ

Для 27г-периодических непрерывных функций из работ Джексона [3] и Бернштейна [4] следует результат об эквивалентности условий
и(Е,8)с- = 0(6“) и Еп(Е)С' = 0(п~а), где 0 < а < 1.
В дальнейшем этот результат был перенесен на метрику пространства Ьр* и обобщен для г-го модуля гладкости, т.е. если Д Є Ьр~, то для любого натурального числа г существуют положительные постоянные С и С%, не зависящие от п (ті Є М) и 8 (8 > 0), такие, что
шг(Р,8)р. < С8* где 0 < а < г.
Утверждение (1) решает основную задачу теории приближений в периодическом случае для степенных порядков приближения.
Также эта задача была решена и для произвольных порядков приближения, а именно, было показано, что если Д Є ДР*, то для любого натурального числа г существуют положительные постоянные Сі и С2, не
зависящие от п (п Є М), такие, что справедливы неравенства
ЗДП, < д;г (V,-) < (2)
пУр' п „=
(см., например, [3], [5] и [6]).
Прямые и обратные теоремы теории приближений позволяют полностью охарактеризовать класс функций с данными структурными свойствами с помощью последовательности наилучших приближений.
Естественно возникает вопрос: переносятся ли утверждения (1) и (2) на случай приближения непериодических функций алгебраическими многочленами?
Прямую теорему Джексон [3] доказал и для непрерывных функций, заданных на конечном отрезке. Но выяснилось, что обратную теорему на непериодический случай перенести нельзя (см., например, [7]), т.е. классы функций со структурной характеристикой со(/,8)р ^ С 5а (модуль непрерывности рассматривается уже в метрике Ьр[—1; 1]) и классы функций, для которых наилучшее приближение алгебраическими многочленами имеет порядок п~а, — это разные классы. Таким образом возникла задача охарактеризовать оба эти класса.
1. Какова конструктивная характеристика функций, удовлетворяющих условию ш{/,8)р^.С8а
В 1946 году С.М.Никольский [8] показал, что прямая теорема для непрерывных непериодических функций может быть усилена и выдвинул гипотезу о том, что конструктивная характеристика таких функций должна
ГЛАВА 1

It < Ci
ff(l- Д2)^|/(Л)|(1 - - x)*-l>-j=^dx <
-l-i l l
< C.//(l - Й2)’|ДЛ)|((1 - x2)(l - z2))M(l -
а-в dzdx <
-1-1 1


v/T=l^‘
Сделаем в двойном интеграле замену переменных по формулам (*). Получим при /3 > О

|/(Д)|(1 — Д2)^((1 — Д2)(1 — w2))^-*(l — R + t2)a~

VI -V

< C3f f(R){l-R2)0(l-R + t2Y~pdR ^
(||/|| w + ^-я ll/ll 1Д/?) •

2) Рассмотрим случай 1 < р < +оо. Положим
Л = \М1>х)\р,а,0 = I - I I1 -8т2£соз2у>-
2Я~И
Имеем
I 7Г -1 О

sin 2£ cos р
f(u)dp
(1 - я)“р(1 + xfpdx ) .
It Заменим cos p = z и обозначим R = x cos t + z sin £/l — x2. Тогда

Л < c6 / [ / (1 - Д2)>1/(Д)|(1 - + я)М X