Приближение классов периодических функций линейными средними их рядов Фурье

• Автор: Бушев, Дмитрий Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Киев
• Количество страниц: 153 c. : ил

Основные обозначения

§ ВЛ. Постановки задач и краткий обзор результатов

§ В.2. Краткое содержание диссертации

ГЛАВА I. Приближение классов С? суммами Зигмунда

р>°°

§ 1Л. Основные определения и используемые результаты

§1.2. Приближение классов Cf суммами Зишунда, если

§ 1.3. Приближение классов С £ ^ суммами Зигмунда, если

• и П
&1и^ Ф

Глава II. Приближение классов периодических функций линейными

положительными операторами
§2.1. Определения, обозначения и известные результаты.... 99 § 2.2. Об асимптотически наилучшем приближении классов if
линейными положительными операторами
§ 2.3. Об асимптотически найлучшем приближении классов дифференцируемых функций операторами ик (Л ; f;x)
Глава III. О реализации точных верхних граней наилучших приближений в метрике С на классах 1Уу,/и суммами Фавара П9
§ 3.1. К приближению функций класса W1 суммами Фавара. Ц9 § 3.2. Приближение функций класса суммами Фавара.
Литература

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
Цусть Ар (ре Тл;+оо)) , А^ и С - пространства 2$, -периодических измеримых функций, соответственно суммируемых в -р-й степени, существенно ограниченных и непрерывных, с нормами
23С -А.
1^1п=Г, II ^ 1со = ^иругт |<чх)|, II^ II. = тах 1?Сх)1;
' О X
Туг_{(х')- тригонометрический полином порядка не выше (/г-1) ; Ел<* - М и Ел/^)х = 5иР«- наилучшее
Тп-{
приближение соответственно функции Ггх)еХ и множества Ж
тригонометрическими полиномами Т^Ах) в метрике пространства X
( Х = А (Ьр^оо )э X = С );

V С-Я1 — вариация функции Е(х') на сегменте С а;61; а х
* к = 11ерсЫсх-ЫЬ- свертке функций 4>(и)£1 и К(и)е А;
цуед = Бир|Ц:(х+и)-^Х)1с и = 5Цр ||^а>-Г(Х)|| р
|и1Й |и'~^
- соответственно модуль непрерывности функпии (Х^б. С и Нх)еАр
сирбсо) ;
Н^ф^С, VI ш(Ы)*иг(й}, н^. V* игф}
- классы 21 -периодических функций, где шсЬ - фиксированная функция типа модуля непрерывности;
IV£ ( г =1,2,3,...) - классы 21 -периодических функций Ьх) ,
у которых (г-{) производная Е(Г локально абсолютно непрерывна, а ||^Ы1р * * ;
IV - классы 2% -периодических функций ^Сх-) ,представимых в Р>Р . 2%
виде свертки Нх) = ^ ср * к , где ]|ср|]р < 1 , JcJf(U)clu = О,
К(и) = Х Дгсоз^ + 4гЦ > а>0 , ь - любое действительное число; ^ к' 2. / ;

LK и L* - произвольные линейный и линейный положительный операторы, действующие из множества ж <= х в пространство всех тригонометрических полиномов степени не выше о-1) ;
Akff;x)= akcoskx + sin kx; Ak(f;x) =af(sinkx - 3^cos kx. ,
где ak= L J f(i) cos ki dt и bk= ^ j f(t) s'm ki dl коэффициенo a
ты Фурье функции f(x)ez. ;
S A Cf-x)- частные суммы ряда Фурье функции
н ’ 2 Р~{ к '
kx)&L ;
23Г п
% + ZV?Ak 2% п
uK(W,x)-j J t(x>t)unU-,i)M = |? *1 Я*’Ак»; *1.

2Ж ы
vt •/ к~ {

п-{
au j-,x.)Ku;l)dtmf ДГ* I, ДГЧ(f;x)
- линейные и линейные положительные операторы соответственно с

ядрами ил(А^;±) = ! ^ + £ (л*}скН-(“^зтИ);
ил^;^~ 1^0)+ Д^ ’ ил/л^:^ = }
аЯ^+ X я‘юсо5к1*0,
К 0 к={ *
где и - элементы бесконечных треугольных числовых матриц
Л = {д(”1] и М = {^}, Я =^(к = О , если к*и ;
р„)«- = 1П( виР Их’
п * Рп *ет
где Ра(Г;х.) - один из операторов ипСА,М;Р-,Х), ип(Л)^х') , иКл,М-,?;х) , и+л(М;х).

Аналогично можно доказать, что
21 п

liW£kV>^i p)wskhdt
Р' 'llcpll^ 0 Ы к=м
2Х п-1 со
- sup I-^rjcpfr Л)^1ktycky^kflmkt^ (cp (к) -fyCk)cos ktj) dt
11сР'Ы ®
Из определения функции (ff^CU.) (см. лемму IЛ.7), следует,
ЧТО при Ч-^со
23i и~{ со
sup ||-^rJcptot)[-^-Z kSfy(k) - ti(k))cOS kt^ay Ф( к)) coskt)dt llcplloo6! о v1 Ы k=n
2-P I [МИ I j
I =0(i?)' (2-5)
о K Ы
21 n-1 oo
Так как sup |J^Jcp(x^)^Z^(^C0S^f Zft^cos^)^^||c
= ^д1’^>Dc’ то из соотношений (2.3)-(2.5) следует (2.1).
Л°° «.
Пусть сначала функция и^(и) выпукла вверх и
tfm. иш)=°° или tim а$Ф Ш)~С> 0. (2.6)
Li'“’00 ц-~-оо *
Если функция 5^(а) непрерывна и интегралы А(б£*) сходятся, то согласно лемме I.I.4,
®^C^U:*Dc А (O'• (2.7)
Из определения функции (4*00 следует, что непрерывная функция. Докажем, что
А(£Г*) <: С, . (2.8)
Цусть аФлси)-Roo, где
ц +
Ф (ц)= V ‘Р*°°
IJ№ U 2 {•
К (К) ’