Проблема существования инъективных модулей над "классическими" топологическими алгебрами и инъективные гомологические размерности

• Автор: Пирковский, Алексей Юльевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 145 с.

Оглавление
Введение
0. Предварительные сведения
0.1. Топологические векторные пространства, алгебры и модули 16 0.2. Топологическая гомология
1. Свойства, близкие к инъективности
1.1. Косвободные модули Фреше
1.2. Инъективность и делимость
2. Основные результаты
2.1. Отсутствие инъективных модулей Фреше над полными нетеровыми локальными алгебрами
2.2. Оценка и вычисление инъективных гомологических размерностей
3. Приложения к классическим топологическим алгебрам
3.1. Алгебры, обладающие свободными бимодульными резольвентами Кошуля
3.2. Алгебры аналитических функций от нескольких свободных переменных (алгебры Тэйлора)
3.3. Алгебры гладких функций на многообразиях
3.3.1. Обратимые бимодули и условие Ван ден Берга
3.3.2. Фундаментальный локальный изоморфизм для гладких многообразий
3.3.3. Изоморфизмы между гомологиями и когомологиями Хохшильда и вычисления гомологических размерностей
4. Нерешенные проблемы и разное
Литература

Введение
Настоящая диссертация посвящена некоторым вопросам гомологической теории топологических алгебр, связанным, в первую очередь, с понятиями инъективного модуля и инъективной гомологической размерности. Гомологическая теория топологических алгебр (или, сокращенно, топологическая гомология) изучает те свойства локально выпуклых топологических алгебр, которые допускают естественную интерпретацию на языке абстрактной гомологической алгебры. Замечательно, что перечень таких свойств оказывается весьма обширным и разнообразным. Многие классические понятия, изучаемые в различных областях анализа, являются по своей сути гомологическими (хотя зачастую это далеко не очевидно) и доставляют тем самым «естественный материал» для изучения в топологической гомологии. Такие понятия встречаются, например, в гармоническом анализе (аменабельная группа, компактная группа, дискретная группа), в геометрической теории банаховых пространств (свойство аппроксимации), в спектральной теории линейных операторов (спектр, локальный спектр, свойство (в) Бишопа), в общей топологии (паракомпактное пространство, метризуемое пространство). В каждом из указанных примеров заданному математическому объекту (группе, линейному оператору, топологическому пространству) естественно соответствует банахова или локально выпуклая алгебра, а некоторому его свойству (аменабельности группы, свойству (/3) линейного оператора, паракомпактности пространства) — определенное гомологическое свойство соответствующей алгебры. Например, группа С амена-бельна тогда и только тогда, когда первая группа когомологий алгебры Ь1(0) с коэффициентами в любом дуальном банаховом Ь] (Б')-бимодуле тривиальна (см. [73]). Другие примеры такого рода приведены в обзорной работе А. Я. Хелемского [68]. Мы отметим лишь, что в процессе своего развития топологическая гомология не только доставляла эффективные средства для исследования тех или иных проблем анализа, но и стимулировала появление новых математических теорий (например, таких, как многомерная спектральная теория линейных операторов в банаховом пространстве [59]).

Появление и развитие топологической гомологии (впрочем, как и классической гомологической алгебры) было обусловлено в первую очередь ее «внегомологическими» приложениями. Например, необходимость в изучении расширений банаховых алгебр была замечена еще в 1954 г. Данфордом [57] при исследовании спектральных операторов. Группы когомологий банаховых алгебр были впервые введены Камовицем [75] в 1962 г. (по аналогии с чисто алгебраической теорией Хохшильда [70]) и применены к некоторым вопросам структурной теории банаховых алгебр. В течение десятилетия, последовавшего за появлением основополагающей работы Камовица, группы когомологий банаховых алгебр использовались различными авторами для решения задач, связанных с расширениями [37, 72], дифференцированиями операторных [74] и групповых [73] алгебр, когомологиями локально компактных групп [64, 65] и некоторыми другими специальными вопросами.
Общий подход к гомологической теории банаховых алгебр был предложен А. Я. Хелемским [38] в 1970 г. По существу, этот подход состоял в построении некоторого варианта относительной гомологической алгебры, специально приспособленного для изучения банаховых алгебр и банаховых модулей над ними. Центральным в новой теории стало понятие проективного банахова модуля, позволившее определить производные функторы на категории банаховых модулей, а также перенести на банахов случай многие другие классические конструкции гомологической алгебры. В частности, интерпретация групп когомологий банаховой алгебры в терминах производных функторов предоставила новые удобные методы для их вычисления.
Начиная с вышеупомянутой работы Хелемского, гомологические методы стали успешно применяться в различных задачах теории банаховых алгебр. Они позволили, в частности, получить ряд результатов о наличии аналитической структуры в спектре коммутативной банаховой алгебры (см., напр., [31, 32, 90]), дать гомологическую интерпретацию некоторым общетопологическим понятиям, таким, например, как паракомпактность [39], получить глубокую информацию о структурных свойствах С'*-алгебр и алгебр фон Нойманна (см. [44, 67, 69]), а также несамосопряженных операторных алгебр (см. [12, 13]). Подробный обзор этих и многих других результатов, полученных при помощи гомологических методов, дан в [68].
Что касается гомологической теории общих локально выпуклых алгебр, то первыми в этой области стали работы Киля и Вердье [77], а также Тэйлора [101], появившиеся несколькими годами позже работы Хелемского [38], но независимо от нее. С технической точки зрения, примененный указанными авторами подход был в основном аналогичен

Напомним (см. §0.1), что для любого полного ЛВП Е проективное тензорное произведение А+ 0 Е имеет естественную структуру левого Д-0-модуля относительно действия алгебры А, определяемого формулой а (b <8> х) — ab 0 х. Поскольку категория А устойчива относительно проективных тензорных произведений (см. аксиому (2)), мы видим, что при Е £ модуль У = 0 Л1 является объектом ка-
тегории A-inod('rf). Модули указанного вида называются свободными. Они характеризуются следующим свойством универсальности: модуль F £ A-тскД'Ф’) свободен тогда и только тогда, когда он является представляющим объектом для функтора X н-> ,6f(E. X) при некотором Е £ У Отсюда нетрудно вывести (см. [42, III.1.25]), что свободные модули проективны.
Пусть теперь X — произвольный -1-модуль из A-mod(A') Рассмотрим свободный модуль А+ ® X и определим морфизм
л: А+ 0 X —» X, а 0 х ь-» а х (0.2.1)
Легко видеть, ЧТО 7Г — допустимый эпиморфизм. В самом деле, непрерывное линейное отображение р: X — А + % X, действующее по правилу х н-> 1+0х (где 1+ — единица в А+), удовлетворяет, очевидно, соотношению 7гр = 1х- Поскольку свободный модуль А+ 0 X проективен, отсюда следует, что для любой категории ЛВП ГФ, удовлетворяющей аксиомам (1)—(2), категория Л-модулей Л-гшн1(гФ) действительно имеет достаточно много проективных объектов.
Указанный факт имеет фундаментальную важность для всей теории, поскольку он позволяет применить к категории H-mod(f) многие стандартные конструкции гомологической алгебры и определить, в частности, производные функторы Ext и Тог (см. ниже). Тем не менее, чтобы построить наилучший вариант гомологической теории, весьма желательно располагать также достаточным количеством инъективных объектов. Говорят, что категория Л-шой(<Ф) имеет достаточно много инъективных объектов, если для любого модуля А' £ A-mod() найдется инъективный модуль Q £ Л-П1О(1(0) и допустимый мономорфизм X -> Q.
Для построения достаточного количества инъективных объектов естественно попытаться «дуализировать» описанную выше конструкцию канонического морфизма 7Г. Если А — банахова алгебра и
1 Иными словами, свободные модули — это в точности те объекты из категории
A-mod(<5), которые свободны (в теоретико-категорном смысле) по отношению к «за-
бывающему» функтору □: A-mod) —> сопоставляющему каждому A-модулю из
A-mod(%f) его подлежащее ЛВП. По поводу общего определения объекта, свободного
по отношению к функтору, см. [45] или [9].