Представление целых функций рядами экспонент с показателями на конечном числе лучей

• Автор: Иванов, Михаил Степанович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Уфа
• Количество страниц: 109 c. : ил

ГЛАВА I. СПЕЦИАЛЬНОЕ БЕСКОНЕЧНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ.

§ I. Распределение нулей линейной комбинации

функций типа Миттаг-ЛефФлера

§ 2. Асимптотика вспомогательной функции ... 41 § 3. Построение и оценка специального бесконечного произведения

Глава II. РАЗЛОЖЕНИЕ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ В РЯДЫ ЭКСПОНЕНТ

§ I. Доказательство теоремы 2

§ 2. Формулы разложения в случае

§3. Непрерывность функции фи

вплоть до границы

(И)
§ 4. Непрерывность функций ^ (ЦЦД
и (^( Г , 2 , Г , вплоть до
границы
§ 5. Основная формула разложения при
^(?НЕ(55,сО', 1МеЕ*((гС) в
§ 6. Теорема о разложении
§ 7. Основная теорема
Литература

В работе будут изложены результаты, относящиеся к представлению во всей плоскости целых функций ^ (ъ) порядка ^>>1 рядами экспонент
№)=1_ ак е а)

с учетом роста функции
00 5 Г(гЧ =£ [ ак ег к I (?)

в случае, когда показатели Л к расположены на конечном числе лучей, выходящих из начала координат.
А.Ф.Леонтьевым [II установлены следующие формулы для представления целых функций '1(2) рядами (I).

Пусть
Ск?К - целая функция }
к-о
(о)+-■+
Ф(*.2,Г) = [М ^ 1 Ат и) л (3)
р м=о
(Г - замкнутый контур, на котором ^(ум)ФО , а ? лежит
внутри Г ).
По определению , если
оо .
Ц1СК1.(1 |СК'1(о)1+ 1 (о'1|+--+1^К"^мО

Доказано, что если f (?)€ СР. &) бРС?) имеет порядок или
меньше р или равный р , но тогда тип меньше 6 , а LMG [jA] , где <
р + 1 ’ , (4)
то ^ (?) £ A(L)
При условии f(?)€A(L') имеет место основная формула;
п, . 1 Г uJiJiM'f) I г(м) л , *
—й^А—<°)Awra.
р w=o
Также имеет место теорема о разложении. Приведем ее для случая | (?)£ CPi&); Ц*)б [^1,^], > 1 при выполнении условий (4).
Будем предполагать, что у функции L(?) все нули простые.
Т е о р е м а о разложении. Пусть функция L(^)
удовлетворяет условиям
km еи|^(йкМ- + °° , со
К_ксхз10к1
имеются окружности lM = ^f оо такие, что
^Ст j miio | LMl= + 00 (б)
К-ЮО ГК Тогда во всей плоскости
00 UJL (Лк,|)

В [£] установлено также, что любую целую функцию ^ (?) можно представить во всей плоскости рядом (I), причем показатели можно выбрать, лежащими на трех лучах (число лучей уменьшить нельзя).
Если І? 1 '>2(1/1
Ай-) <
(К''

Тоі?-О>т ,

Если 121 й Шуп І
(К>

А М 2 (Л/иА I
А(?К «рта
Отсюда
(К'І

-,(і-А)
Следовательно,
І М(2)
і?®
< С ехр| 2. ^ - Я + °Аг

с(і ~
'кУІ
и/*'
(і=ід,
і=Л/ к
Ряд сходится, так как
А 2
,(к)
'(Ті

<6^ ,
Теперь выберем многочлен 5 (2) , а с ним и
Положим
5°(гЬ 50 + о^г + . +с(1г
1 л/-1 Р х ✓ -з А
Л(з)=Рі&)-
— к)
І VI
і (<’)