М-членное тригонометрическое приближение классов Lφβ,p функций многих переменных

• Автор: Консевич, Наталия Николаевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Киев
• Количество страниц: 118 с.

Перечень условных обозначений
Раздел 1. Обзор литературы
1.1. Основные задачи теории приближения
1.2. М-членное тригонометрическое приближение 29 Раздел 2. Наилучшие тригонометрические приближения
классов в пространстве Ьд
2.1. Постановка задачи и вспомогательные утверждения
2.2. Оценки величин ем(Ь^р)ч при 1 < р < д < оо, д > 2
2.3. Оценки величин ем(Ь^р)ч при 1 < р < д < 2
2.4. Оценки величин ем(Ьрр)д при 1 < д < р < оо
2.5. Приближение классов тригонометрическими полиномами
в равномерной метрике
Раздел 3. Наилучшие ортогональные тригонометрические приближения И тригонометрические поперечники классов Ьд р в пространстве Ьд
3.1. Оценки величин е^(Ьрр)Я1 1 < р, д < оо
3.2. Поведение величин 85 Раздел 4. Приближение классов Щ^ в метрике Ьд, 1 < q < оо

4.1. Приближение функций Вф(х,/3)
4.2. Оценки величин Еп(Ьрр)д, 1 < д < оо
Выводы
Список использованных источников

ПЕРЕЧЕНЬ УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
V — квантор общности: ’’для всякого”, ’’для любого”
3 — квантор существования: ’’существует”
<1е/ — ”по определению”
N — множество всех натуральных чисел Z — множество всех целых чисел Л — множество всех действительных чисел Л^ -— ^-мерное евклидово пространство, Л1 = Л.
(яг, у) = ху+.. .--Xiyd ~ скалярное произведение элементов х, у Є Л^ х Є А (х £ А) - элемент х принадлежит (не принадлежит) множеству А
[а] — целая часть числа а
ядп а — величина, равная 1, если а > 0, равная -1, если а < 0, и
нулю, если а = О <1
7Г<( = П[—Л’і7Г] - ^-мерный куб

Ьд(П(і), 1 < д < оо, — пространство 2л-периодических по каждой переменной суммируемых В степени у на 7Г<1 функций /(X) = /{хх хл)
Ьсо{К(і) — пространство 2л-периоднческих по каждой переменной существенно ограниченных функций /(х) = /{х, . . . , Хд)
11/11? — норма функции / в пространстве Ьч
р(.ч) — множество векторов к = (к к^), кд Є Z, удовлетворяющих условию 28->-1 < к] < 2*->, ] = 1,(1
= и р(й) — ’’ступенчатый гиперболический крест”, (5,1)
(в,1)<л =51 + . . . +

Тдп — множество тригонометрических полиномов с ” номерами” гармоник из С^п {к Є С^п)
Еп(/)я — наилучшее приближение функции / в пространстве Ьч тригонометрическими полиномами из Тс)п
Еп{х) = ^2 X) ег(к'х) — ’’ступенчато-гиперболическое” ядро Ди-
(в.І)<п к£р(з)
рихле
Вф(х,Р) — многомерный аналог ядра Бернулли д * ір — свертка функций д и ір
ем(1)ч — наилучшее М-членное тригонометрическое приближение функции / в пространстве Ьд
СдД/), — наилучшее М-членное ортогональное тригонометрическое приближение функции / в пространстве Ьд
Еп{Е)ч, ем(Р)ч , &м(Р)д — точная верхняя грань соответственно величин Еп(/)ч, ем(/)„ е^(/)д по всем / Єґ
(1м(Е, Ьд) — М-мерный колмогоровский поперечник класса Ь в пространстве Ьд
с(м(Е,Ьд) — М-мсрный тригонометрический поперечник класса і*1 в пространстве Ья

Пусть число М задано. Подберем I таким образом, чтобы М X и г'/'*-1 > 2М.
Рассмотрим ’’ступенчато-гиперболическое” ядро Дирихле
а(х) = Е Ее'<зд-
(«,1) Точная порядковая оценка величины ||Д(х)||р при 1 < р < оо установлена Э.М. Галеевым [69], а именно:
цздП^О-^т1.
(2.20)
В работе [17, с. 97] было показано, что для произвольного полинома £(х) с ’’номерами” гармоник из ’’ступенчатого гиперболического креста” имеет место соотношение
р ^ Ф(п)^
і р>
(2.21)
где Ф(гс) = min ]Д ipj(2si): ipj G D, 1 < p < oo.
(s,l)=n j-l
Следовательно, согласно (2.20) и (2.21)
<<: Щ ||ад|1- <<:
а функция
f{x) = С3Ф(/)2,(р"1)гт1А(х), C3 > 0, (2.22)
принадлежит классу Lßp
Теперь перейдем к выбору функции Р(х), которая бы удовлетворяла условиям: Р{х) £ Ll(©m), ||Р(т)||9' < 1. Рассмотрим полином
F(x) = D,(x)
У eQ m