Геометрические и экстремальные свойства регулярных функций в круге

• Автор: Сижук, Татьяна Петровна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Ставрополь
• Количество страниц: 89 с.

ГЛАВА 1. Экстремальные задачи, связанные с обобщенной выпуклостью и почти выпуклостью функций

§1.1. Критерий почти выпуклости заданного порядка регулярных функций

в круге

§1.2. Нижняя оценка аг§{(г2 -с)/'(г2)/(2, ~с)/'{гх)} на классах 5 и

К{Р)

§1.3. Границы почти выпуклости и выпуклости заданного порядка классов

5 и К(/3) в точке

ГЛАВА 2. Уклонение образов гладких кривых при однолистных конформных отображениях

§2.1. Формула для вычисления величины уклонения

§2.2. Об изменении уклонения образов гладких кривых при однолистных

конформных отображениях

§2.3. Экстремальные значения уклонения образов гладких кривых при однолистных выпуклых отображениях
ГЛАВА 3. Геометрические свойства и интегральные преобразования
регулярных функций
§3.1. Свойство звездообразности и интегральные преобразования регулярных функций
§3.2. Достаточные условия выпуклости и почти выпуклости интегрального
оператора Бернарди
§З.З.Свойство ограниченного вращения и интегральное преобразование Бернарди регулярных функций

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ
Геометрическая теория функций комплексного переменного является в настоящее время интенсивно развивающейся областью математического анализа, в которой изучаются регулярные или мероморфные функции, определяемые какими-либо геометрическими свойствами, а также различные геометрические и экстремальные свойства тех или иных классов функций.
В геометрической теории аналитических функций комплексного переменного важное место занимают вопросы, связанные с исследованием функционалов, непосредственно характеризующих искажения кривых и областей при соответствующих конформных отображениях (см. [1-5; 9; 12; 13; 16; 17; 23-25; 28; 30-33; 36-41; 45-53; 60; 63; 88; 90]), с изучением устойчивости и изменения геометрических свойств аналитических функций при интегральных преобразованиях (см. [35; 42-44; 54; 64; 82; 84; 85]). Особенно актуальными являются эти вопросы для однолистных функций в круге, т.е. функций, принимающих в различных точках круга различные значения, которые реализуют конформные отображения и находят широкое применение во многих разделах математики и механики.
Настоящая работа посвящена изучению геометрических и экстремальных свойств регулярных функций в круге. Основными направлениями исследований в работе являются: изучение геометрических свойств образов кругов со смещенным центром при конформных отображениях, осуществляемых регулярными однолистными функциями в единичном круге, определение экстремальных значений уклонения образов гладких кривых при конформных отображениях, осуществляемых регулярными выпуклыми функциями в единичном круге, исследование вопроса об изменении геометрических свойств регулярных функций при интегральных преобразованиях. Все эти направления касаются указанных выше вопросов, этим обуславливается актуальность проводимых исследований.
Дадим обзор содержания диссертации с параллельным кратким обзо-

Следующая лемма относится к дифференциальной подчиненности регулярных функций. Напомним (см., например, [15], с.356-357), что регулярная в Е функция Р(г) называется подчиненной регулярной функции д(г) в Е и это записывается в виде Р(г) -< ц(г), если д(г) однолистна в Е, Р(о) = ц(о) и Р(Е)ац(Е).
Лемма 3.Пусть 00, ц>тах{(1-2Д).у — 1,—/Зу}. Тогда дифференциальное уравнение
V + 1
обладает регулярным и однолистным в Е решением ц(р), ц(о) = 1, и для регулярных в Е функций Р(г), Р(о) = 1, удовлетворяющих дифференциальной подчиненности
И + 5Р(2) 1-Г
справедлива точная оценка ЯеР(2) > ({(—г) при каждом г, 21= г < 1.
Эта лемма является простым следствием теорем 1 и 2 в [81].
Следующая теорема показывает, что в упомянутых во введении результатах работ [82] и [68] требование звездообразности /(г) можно ослабить, причем в интеграле (10) при комплексном V.
Теорема 3.1. Если функция /(г) = г + а2г2 + ...е Я, а>0, у>0,
Кеи + у>0 и
гГ(г)
Ке >-о~, 2 еЕ, (3 2)

уч-Ыеи
сг = а(у,а,у) = г ■ ■ =. = — , и
а2+у + и2 +д/(а2-| у + V |2) + 4а21т2 у
тогда определяемая формулой (10) функция 2г(г) принадлежит классу Б *.
Доказательство. Функция