Представления функциональными интегралами решений регулярных и стохастических эволюционных уравнений

• Автор: Обрезков, Олег Олегович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 108 с. : ил.

1 Формулы Фейнмана для эволюционных уравнений

1.1 Уравнение теплопроводности с потенциалом на компактном ри-мановом многообразии и У—мера Винера

1.2 Конечномерные аппроксимации интегралов по Б—мере Винера

1.3 Формула Фейнмана-Каца для уравнения теплопроводности на компактном римановом многообразии

1.4 Задача Коши-Дирихле для уравнения Шредингера в ограни-

■н ченной области евклидова пространства и формулы Фейнмана

1.5 Построение аппроксимирующего по Чернову семейства операторов

1.6 Формула Фейнмана для уравнения Шредингера в области

1.7 Представление решения задачи Коши-Дирихле с помощью интеграла Фейнмана по траекториям в области

1.8 Обобщение теоремы Чернова на нестационарный случай

2 Стохастические уравнения Шредингера

2.1 Некоторые обозначения и терминология
2.2 Модель Смолянова-Трумена
2.3 Вывод стохастического уравнения Шредингера с двумерным белым шумом
2.4 Псевдодифференциальные операторы и интегралы Фейнмана
по траекториям в фазовом пространстве
V. 2.5 Стохастическая формула Фейнмана

2.6 Стохастические интегралы Фейнмана по траекториям в фазовом пространстве
3 Уравнение Лапласа-Леви
3.1 Предварительные сведения
3.2 Несамосопряженные расширения лапласиана Леви
3.3 Гармонические функции оператора Лапласа-Леви
3.4 Дополнительные замечания
Заключение
Список литературы

В диссертации получены формулы Фейнмана (т.е. представления решений эволюционных уравнений с помощью пределов конечнократных интегралов) для двух классов уравнений — уравнения теплопроводности на компактном римановом многообразии и уравнения Шредингера в области евклидовова пространства (в последнем случае рассматривается задача Коши-Дирихле). Кроме этого, в работе содержатся вывод стохастического уравнения Шредингера и представления решений этого уравнения с помощью случайных интегралов Фейнмана по траекториям в фазовом пространстве (=стохастические формулы Фейнмана). Стохастическое уравнение Шредингера играет важную роль в теории открытых квантовых систем — оно описывает эволюцию квантовой системы, подвергающейся непрерывному измерению. Помимо представлений решений уравнений с помощью функциональных интегралов, в диссертации получен широкий класс решений уравнения Лапласа-Леви, тесно связанного с теорией калибровочных полей.
Исследование функциональных интегралов давно стало одним из центральных направлений функционального анализа. Начало этому напр#авле-нию было положено работой Р. Фейнмана [42], в которой была предложена конструкция, получившая название интеграла Фейнмана по траекториям в конфигурационном пространстве. Как отметил сам Фейнман, эта конструкция восходит к П.А.М. Дираку. Написанная на физическом уровне строгости работа Фейняуша отличается элегантностью и ясностью изложения. Но самое главное, предложенный в этой работе подход к исследованию эволюционных уравнений оказался исключительно эффективным.
Метод функционального интегрирования исследуется и развивается в ра-

Последнее выражение является интегралом Фейнмана по траекториям в С. Заметим, что согласно определению К выполнено равенство

Д КгЦ/п,^-!

Первое слагаемое под знаком экспоненты в последнем равенстве соответствует ГЕ=1р (п* хк-1> хк) в формуле (1-31), второе и третье являются интегральными суммами для функционалов £ Е <^([0,<],(?) ьч ~г/о (У(ф)) - |(ИуВ(Ф))) дэ и £ е СХ([0,1},С) (£(£(я - О))
иначе говоря, эти слагаемые являются сужениями соответствующих функционалов на конечномерное подмногообразие Еп функций, линейных на каждом промежутке ^ (при этом х] в формуле (1.33) является значением функции в точке ^). Согласно определению интеграла по траекториям получаем, что решение уравнения (1.11), представленное с помощью (1.32), совпадает с соответствующим интегралом Фейнмана. Теорема доказана. □
Отметим, что аналогичный результат имеет место и в случае, если псевдомера Фейнмана определяется как предел конечнократных интегралов при стремлении диаметра разбиения отрезка времени [0, Л] к нулю (см. лемму 1.20).
Замечание 1.23. В формуле для представления решения уравнения (1.11) присутствует символ (В(£(з — 0)),^(й)). Конечномерная аппроксимация этого интеграла (то есть сужение функционала на Еп) равна £"„1 B(xj-l)(xj — По аналогии со случаем меры Винера (ж,- — Xj-l)
можно интерпретировать как приращение на промеоюутке эвристического случайного процесса, соответствующего псевдомере Фейнмана. Таким образом, указанная интегральная сумма является конечномерным приближением эвристического стохастического интеграла. При этом значение функции В{-) вычисляется в точке Xj_l, то есть соответству-