Вопросы геометрической теории меры в субримановой геометрии

• Автор: Басалаев, Сергей Геннадьевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 131 с.

Оглавление
Введение
Глава 1. Локальная геометрия многообразий Карно
1.1. Определение многообразия Карно
1.2. Локальная аппроксимация пространств Карно— Каратеодори
1.3. Координаты второго рода
1.4. Соединимость точек многообразия Карно горизонтальным кривыми
1.5. Метрические свойства многообразий Карно
Глава 2. Неравенство Пуанкаре
2.1. Доказательство неравенства Пуанкаре
2.2. Следствия из неравенства Пуанкаре
Глава 3. Аппроксимативная дифференцируемость отображений многообразий Карно
3.1. Дифференцируемость в субримановой геометрии
3.2. Аппроксимативный предел и аппроксимативная дифференцируемость
3.3. Теорема об аппроксимативной дифференцируемости
3.4. Приложения теоремы об аппроксимативной дифференцируемости
Глава 4. Свойства поверхностей уровня слаборегулярных функций на группах Карно
4.1. Непрерывно дифференцируемые отображение
4.2. Гиперповерхности в группах Карно
4.3. Свойства параметризаций /Г-регулярных поверхностей
Заключение

Список литературы
Публикации автора по теме диссертации
Введение
Настоящая работа посвящена геометрическим и аналитическим свойствам субримановых пространств при минимальной гладкости распределения допустимых направлений. Основным объектом изучения является многообразие Карно — обобщение эквирегулярного пространства Карно—Каратеодори, образованное С1-гладки ми векторными полями. В диссертации доказывается, что любые две точки такого пространства можно соединить абсолютно непрерывной горизонтальной кривой, т. е. выполнен результат, аналогичный классической теореме Рашевского—Чоу. Как следствие, показано, что на многообразии Карно определены метрика Карно—Каратеодори и мера, удовлетворяющая условию удвоения. Далее, показано, что при некоторой дополнительной регулярности выполнен аналог неравенства Пуанкаре, который мы доказываем для областей Джона—Также -исследуется регулярность отображений многообразий Карно. Мы определяем аппроксимативно дифференцируемые отображения и доказываем эквивалентные критерии аппроксимативной дифференцируемости, частичные аналоги известных в классическом анализе теорем Степанова и Уитни. Наконец, в заключительной части диссертации исследуются параметризации регулярных в субримановом смысле гиперповерхностей на группах Карно.
Обзор темы диссертационного исследования
Напомним, что субримановым пространством называется С^-гладкое ри-маново многообразие М с заданным на нем распределением Н С ТМ. меньшей размерности и скалярным произведением (•,•}: Н х Н —» Ж. Распределение Н называется горизонтальным и задает допустимые направления движения, т. е. допустимыми траекториями в субримановом пространстве являются абсолютно непрерывные кривые 7 такие, что 7 £ Н почти всюду.
Впервые объекты такого типа появились в работе К. Каратеодори 1909 г. [1], в которой термодинамический процесс моделируется как кривая вМ". а

где постоянные С, С2 ограничены, все О(-) и о(-) равномерны в Вох(д,го).
Таким образом, мы приходим к противоречию с (1.12), и, следовательно, правое неравенство в (1.10) доказано. □
Следствие 1. Величина 62 является квазиметрикой в смысле [37], т. е. следующие свойства выполнены для точек некоторой окрестности II(д) :
1) ^(ж, у) > 0, йа(х, у) = 0 тогда и только тогда, когда х = у;
2) с£2(у, ж) < С1_1С2С?2(т, у), где постоянные С и С2 определены в теореме 10;
3) существует постоянная > 1 такая, что для всех точек х, у, г £ и(д) выполнено
й2(х, г) < <32№(ж, у) + ф>(у, г)),
где $2 = и (^ — постоянная из обобщенного неравенства треугольни-
ка для с?оо;
4) с?2(х,у) непрерывна по отношению к первой переменной.
Доказательство. Свойства 1-3 доказываются непосредственной проверкой. Докажем, к примеру, второе свойство:
<к(у,х) < СгДДу,^ = С2с100(х,у) < С^1С2(12{х,у).
Последнее свойство следует из непрерывной зависимости решений обыкновенного дифференциального уравнения от начальных данных. □
1.4. Соединимость точек многообразия Карно горизонтальным кривыми
Для групп Карно известно следующее утверждение.
Лемма 2 ([92]). Пусть G = (КД •) — группа Карно и пусть векторные поля У,... ,Уп — базис горизонтального подпространства С ее алгебры Ли. Тогда