Неравномерные усреднения в эргодической теореме

• Автор: Королев, Александр Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 58 с.

Содержание
Введение
ГЛАВА 1. Усреднения в форме Козлова-Трещева
1.1. Примеры
1.2. Слабая сходимость мер
1.3. Сходимость для функций из пространства Орлина и из ЕР
ГЛАВА 2. Усреднения для операторных полугрупп
и стохастических уравнений
2.1. Неравномерные усреднения для операторных полугрупп
2.2. Неравномерные усреднения для стохастических потоков
2.3. Сходимость в П* и теорема Винера-Винтнера
Литература

ВВЕДЕНИЕ
Общая характеристика работы
Актуальность темы. Центральное место в эргодической теории занимает хорошо известная теорема Биркгофа-Хинчина, которая состоит в следующем. Для всякой интегрируемой функции / на измеримом пространстве X с конечной мерой, инвариантной относительно полугруппы Tt измеримых преобразований X, существует конечный предел средних

— II f{Tsx)ds
при Т —> +оо для почти всех х G X. Индивидуальная эргодичсская теорема была установлена Г. Биркгофом1 в 1931 году для более специального случая динамических систем, возникающих из дифференциальных уравнений на гладких многообразиях. Аналогичное утверждение, сформулированное в терминах унитарных операторов, сопряженных с динамической системой, было получено Дж. Нейманом2. В отличие от теоремы Г. Бирхгофа, в эргодической теореме Дж. Неймана речь идет о сходимости по норме гильбертова пространства, а не о сходимости почти всюду.
В 2003 году В.В. Козловым и Д.В. Трещевым была представлена новая форма эргодических теорем Г. Биркгофа и Дж. Неймана (см. работы3,4). Ими было установлено, что для всякой вероятностной меры V на [0, +оо) с плотностью относительно меры Лебега и всякой ограниченной измеримой функции / па измеримом пространстве X средние
р+оо
/ /(ВД u(ds)

Birkhoff G.D. Proof of the ergodic theorem. Pioc. Nat. Acad. Sei. U.S.A. 1931. V. 17, N. 12. P. G56-G60.
Neumann J.V. Proof of the quasi-ergodic hypothesis. Proc. Nat. Acad. Sei. 1932. V. 18, N. 1. P. 70-82.
Kozlov V.V., Treschev D.V. On new forms of the ergodic theorem. J. Dynam. Contiol Syst. 2003.
V. 9, N 3. P. 449-453.
Козлов B.B., Трещев Д.В. Эволюция мер в фазовом пространстве нелинейных гамильтоновых систем. Теор. и матем. физ. 2003. Т. 136, N 3. C. 49G-50G.

при Т —> +оо сходятся к тому же пределу, что и средние из теоремы Бирхгофа-Хинчина. В первой главе диссертации продолжено изучение этого вида усреднений. Здесь выяснено, что для неограниченных функций / это утверждение теряет силу, однако при некоторых соотношениях между характерами интегрируемости / и плотности меры ь> имеются положительные результаты. Также здесь введены некоторые новые объекты. связанные с указанными усреднениями, приводящие к вопросу о слабой сходимости мер па фазовом пространстве.
Среди различных обобщений индивидуальной эргодической теоремы следует особо выделить классический результат Н. Винера и А. Винтне-ра (см. работы0’6 и монографию И. Ассани7). С середины прошлого века возникло целое направление развития весовых эргодических теорем, современное изложение этих результатов дано в монографиях У. Кренгеля8 и К. Петерсена9 (см., также работу А. Белов и В. Лозерт10).
Идеи теории полугрупп оказались весьма плодотворными при изучении марковских процессов. Эргодическая теория таких процессов впервые изложена в монографии Дж. Дуба11. Современное развитие этой теории изложено в работах A.B. Скорохода12 и X. Куниты13.
В диссертационной работе рассматривается аналог эргодической теоремы в форме Козлова-Трещева для диффузий. В отличие от детерминированного случая, здесь нет полугруппового свойства по времени.
Рассматривая эргодичеекую теорему в новой форме, предложенной
В.В. Козловым и Д.В. Трещевым, следует упомянуть о другого рода
JWiener N., Wintner A. On the ergodic dynamics of almost periodic systems. Amer. J. Math. 1941.
V. 63. P. 794-824.
Wiener N., Wintrier A. Harmonic analysis arid ergodic theory. J. Math. Phys. 1939. V. 63. P. 415-426.
'Assam I. Wiener Wintner ergodic theorems. World Scientific, Singapoie, 2003.
Krcngel U. Ergodic theorems. Walter de Gruyter, Berlin, 1985.
Petersen K. Ergodic theory. Cambridge University Press, 1983.
Below A., Losert V. The weighted pointwise ergodic theorem and the Individual ergodic theorem along subsequences. Trans. Amer. Math. Soc. 1985. V. 288, N 1. P. 307-345.
Дуб Дж.Л. Вероятностные процессы. М., ИЛ
Скороход A.B. Асимптотические методы теории стохастических дифференциальных уравнений. Паукова Думка, Киев, 1987
Kunita И. Stochastic flows and stochastic differential equations. Cambridge University Press, 1990.
Глава
Усреднения для операторных полугрупп и стохастических уравнений
2Л. Неравномерные усреднения для операторных полугрупп
Пусть {Tt} — полугруппа положительных операторов на L1 (д), где д -вероятностная мера на измеримом пространстве (X, А). Случай классических равномерных усреднений был рассмотрен в [6], [18].
Напомним, что операторная полугруппа {Tt} назвается сильно измеримой, если для всех / € Ь:(д) отображение
(i, х) [0, + оо) х X —X,
измеримо относительно пары ст-алгебр В([0, +оо)) Aß и А, где В([0, +оо)) — борелевская сг-алгебра [0,-foo), а Aß — пополнение А относительно д. Введем следующие обозначения:
\Tt\p := sup \Ttf\LpM, где t > Q,p G [1, +oo], li/ll
f*{x) := sup J [ |(Д/)(ж)| ds, f € Lp(p), при p 6 (1, +oo], i t J
C(p) := P 6 (l.+oo].
Для дальнейших рассуждений нам понадобится упрощенный вариант теоремы об оценке 17-нормы верхней грани классических равномерных усреднений (см. [6, теорема 7, с. 735]).
ТЕОРЕМА 2.1.1. Пусть Tt — сильно измеримая полугруппа и НДЦ! < 1, ||Г4||оо < 1, где t > 1. Тогда для всякой функции / € ТДд) при р > 1 выполнено неравенство
\r\L,{ß)