Порядковые свойства пространства конечно-аддитивных переходных функций

• Автор: Сотников, Алексей Игоревич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 74 с.

Основные обозначения

ГЛАВА 1. Введение

N N
N

ГЛАВА 2. Предварительные сведения

§2.1. Вспомогательные сведения из теории

упорядоченных пространств

§ 2.2. Вспомогательные факты из теории меры

. I
I •

ГЛАВА 3. Порядковые свойства пространства

конечно-аддитивных переходных функций 42 ,
§ 3.1. Понятие переходной функции 42 .
§ 3.2. Изоморфизмы между Пространством переходных
^ функций и другими классическими пространствами
- - § 3.3. Счетно-аддитивные и чисто конечно-аддитивные
переходные функции
§ 3.4. Сильно аддитивные переходные функции
Список литературы
Основные обозначения
Пусть X — некоторое непустое множество, Е — сг-алгебра его подмножеств. Пару (X, Е) будем называть измеримым пространством, а элементы Е — измеримыми множествами.
В борелевская сг-алгебра, т. е. ст-алгебра, порожденная
топологией;
С ст-алгебра измеримых по Лебегу множеств;
Е булева алгебра классов эквивалентности измеримых
множеств пространства с мерой (X, Е, |*|);
Е булева алгебра Е-согласованных множеств на измери-
; мом пространстве (X, Е); ,!
Ьа(Х, Е), Ьа(Е) множество конечно-аддитивных мер на измеримом
пространстве (X, Е); са(Х, Е), са(Е) множество счетно-аддитивных мер на измеримом пространстве (X, Е); г,|
р/а(Х, Е), р}а[Е) множество чисто конечно-аддитивных мер на измери-
• мом пространстве (X, Е); ,
'Р(Х, Е) множество конечно-аддитивных переходных функций
на измеримом пространстве (X, Е);
Тса(Х, Е) множество счетно-аддитивных переходных функций
на измеримом пространстве (X, Е);
'Рр/а{Х, Е) множество чисто конечно-аддитивных переходных
функций на измеримом пространстве (X, Е);
ТШ{Х, Е) множество сильно аддитивных переходных функций
на измеримом пространстве (X, Е);
Реса(Х,Е) множество сильно счетно-аддитивных переходных
функций на измеримом пространстве (X, Е);
<А В(Х, Е), В(Х) Є%(Х,Ьа(Е))

^к{Х,Ьа&))
> £(ВД) ^(Вй))

М5ф)
М5(рО)

£(Ьа(Е)) - • £*(Ьа(Е))
/С£ш(Ьа(Е))

^£ш(Ьа(Е),са(Е))
множество сильно чисто конечно-аддитивных переходных функций на измеримом пространстве (Л', Е); банахово пространство ограниченных Е-измеримых функций /: X —> К с нормой ||/|| = эирд.^ |/(я)|; множество ограниченных слабо* измеримых вектор-функций ю: X -» Ьа(Е);

множество ограниченных слабо* измеримых слабо компактнозначных вектор-функций и> X -> Ьа(Е); множество линейных ограниченных операторов из В{Х) в В(ху,
множество линейных ограниченных о-непрерывных операторов из В{Х) в В(Х)
множество линейных слабо компактных операторов из В(Х) в В(Х); !
множество линейных о-непрерывных слабо компактных операторов из В(Х) в В(Х) множество линейных ограниченных операторов из Ьа{Е) в Ьо(Е);
множество линейных слабо* непрерывных операторов из Ьа{Е) в Ьа{Е);
множество линейных слабо* непрерывных са-инвари-антных операторов из Ьа{Е) в Ьа(Е); множество линейных слабо*-слабо непрерывных операторов из Ьа{Е) в Ьа(Е);
множество линейных слабо*-слабо непрерывных операторов из Ьа{Е) в са(Е).
где Уп+1 = У и ап+к = од для к = 1,... ,п — 1. Тогда каждое из отображений од является линейной изометрией и порядковым изоморфизмом между VI И
< Зафиксируем г € {1,, п}. Оператор од сюръективен, поскольку 0'1((«1+п-1 •••аг+2«г+1)(^)) =и>
N N
для всех тл € М+1 согласно (с1). Для V £ V, с учетом (с1) и (Ь) имеем 1Н1<|К+„_1||...||а,+1|||К|||Н|^|М|. ■
Следовательно, отображение од является изометрией У{ на У±+1. Остается
заметить, что для всех V £ К согласно (б) и (с) из од (и) > 0 вытекает
: I
п = (од+„_1 •••од+1од)(г;) = («,+„_! •••од+1)'(од(п)) ^ 0. >
Теорема 3.2.8. Диаграмма, вершинами которойявляются пять пространств Д(Х,Е), С(В(Х)), £ш(Ьа(Е)), Ьа(Е,В(Х)) и ^(Х,Ьа(Е)),
>1 I*
а ребрами’•—двадцать отображений, определенных й 3.2.4, коммутативна. Кроме того, каждое из двадцати отображений является изоморфизмом между соответствующими пространствами, где под изоморфизмом понимается линейная изометрия, сохраняющая произведение и являющаяся порядковым изоморфизмом.
« Положим V1 = Г{Х,В), У2 = С(вХ)), 1/3 = £ш(Ьа(Е)), У4 = Ьа(Е, В(Х)), V;, = £(Х,Ьа(Е)), Ус — У и рассмотрим отображения а,-: У{ —> 1^+1 (г = 1 5), определенные формулами
од(р) = Тр, а2(Т) = Ар, а3(Л) = тпА, од(т) = ут, а До) = р„.
Покажем, что отображения од удовлетворяют условиям (а)-(с1) леммы 3.2.7 и сохраняют произведение.