Асимптотические свойства полуклассических совместно-ортогональных многочленов Бесселя

• Автор: Ахмедов Руслан Эльдар оглы
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 77 с.

Оглавление
Введение
Глава

Многочлены Бесселя-Бесселя

1 Классификация полуклассических многочленов

совместной ортогональности

2 Асимптотические свойства многочленов Бесселя- Бесселя г'

3 Функции второго рода и распределение нулей

Глава

Многочлены Бесселя-Лагерра

1 Многочлены <5£„(а;) = Яъп&я)

2 МнОГОЧЛеНЫ <2п(х) = <Эгп(|)
Список литературы

Введение
Ортогональные многочлены занимают центральное место в современном математическом анализе. Они служат мощным аппаратом при решении различных задач, охватывающих широкий круг вопросов, таких как аппроксимации аналитических функций, непрерывные дроби, дио-фантовы приближения, спектральная теория дифференциальных и разностных операторов, проблема моментов и др. Теория ортогональных многочленов находит многочисленные приложения - от матричных моделей в ядерной физике до асимптотической комбинаторики.
В последние десятилетия получила широкое развитие теория многочленов совместной ортогональности ( называемых также полиортогональ-ными), т.е. многочленов, ортогональных на нескольких контурах в С:
где п = (п1
Многочлены (*) служат общим знаменателем совместных аппроксимаций Эрмита-Паде
эквивалентными соотношениям ортогональности (*). При г = 1 такая конструкция определяет последовательность аппроксимаций Паде [42] фун-
/ Яп{х)х1'ш(х)йх = 0, н = 0

С2п(х) < |п| := ]С П31

которые определяются следующими условиями:
<Эп{х)ги1(х) - Рй(ж) = 0{х п* г), |л| оо (у = 1

кции вида (**) или формального степенного ряда с центром в бесконечности
Аппроксимации Паде возникли как самостоятельное направление в теории аппроксимаций в конце 19 века и явились обобщением основных идей, изложенных в классических трудах П. Л. Чебышева и А. А Маркова по непрерывным дробям и предельным величинам интегралов. Совместные аппроксимации были введены Ш. Эрмитом в 1874 г. при доказательстве им трансцендентности числа е[2]. Им также были вычислены линейные формы с полиномиальными коэффициентами для набора экспонент [3]. Подобные конструкции находят многочисленные приложения в теории чисел, в частности, при изучении арифметических свойств значений дзета-функции Римана

при нечетных я [49, 50]. Совместными аппроксимациями Паде для набора формальных степенных рядов
впервые начал заниматься деБрюен [12] . Отметим также связь с многомерными непрерывными дробями, которые появились уже в работах Якоби [11] и Перрона [4, 5] ; теория многомерных непрерывных дробей получила дальнейшее развитие в работах [32, 34].
Для произвольного набора весовых функций IVу (х) и контуров 1ф вопрос о существовании и единственности многочленов (*) требует, вообще говоря, отдельного рассмотрения. В то же время, имеются две общие конструкции (системы мер), для которых единственность €}я{х) (с точностью до постоянного множителя) имеет место. Они называются системами Анжелеско (А) и Никишина (14) и играют ключевую роль при изучении сходимости совместных аппроксимаций и асимптотики полио-ртогональных многочленов. Первая из них появилась в связи с серией

см = 2>-

если г-1 <1 Кг, то беря точку £2 6 (рг, <5х) и принимая во внимание что г*(С) - вещественное при £ € К, получим
~ и{г2) < и(С) - **(&)| + |**(Са) - *(2)| < V + V = 2/?, при С Є 7,
откуда следует наше утверждение.
Вернемся к доказательству теоремы. Выбирая в соответствии с доказанным утверждением достаточно большое Е = 5нс, и совершая обход вдоль отрезков [+оо, 9&гг+(ж)], [$1г+(х), г+(х) — г5], окружности {г — г+(х) = 5} и тех же отрезков, проходимых в обратном направлении, видим что tk(z), а следовательно и Ек(г; х) не изменяет своего значения. Поскольку такой путь можно непрерывно деформировать в
т.е. г+[х) не является для нее точкой ветвления. Аналогично доказывается, что г_{х) не является точкой ветвления для Р*(щ х).
При х € 7± имеем |щ(х) = z±{x), и разложение вида (40) справедливо в окрестности каждой из точек г{х), г±(х). Применяя общую теорему, получаем формулы (38),(39). □
2.4 Многочшены <22п{%)
Рассмотрим теперь производящую функцию (15), где многочлены Сд2п{х) нормированы условием
Лемма 3 Производящая функция Е(г]х),(15) для системы ортогоналъ-
это 03Н£
(41)
ных многочленов (?2гг(ж); (41)г может быть представлена в следующем
виде:
р(г-х) = *0)) ~ ”*(г)
’ ъи(х)
(42)