Построение и исследование методов регуляризации для задачи связанного псевдообращения

• Автор: Архаров, Евгений Валерьевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Нижний Новгород
• Количество страниц: 92 с.

• Введение

Глава I. Теоретические основы построения методов

§1. Свойства псевдообратных операторов

§2. Задача связанного псевдообращения

§3. Аппроксимирующая задача

Глава II. Методы регуляризации основной задачи

§4. Неявные схемы итерированного и итерационного методов

§5. Явная схема итерационного метода

§6. Сходимость методов в условиях нормальной разрешимости

составного оператора

• Глава III. Устойчивость методов регуляризации основной задачи

§7. Устойчивость неявных схем решения основной задачи
§8. Устойчивость явной схемы решения основной задачи
Глава IV. Апостериорный выбор параметров регуляризации
§9. Устойчивость неявных методов в классе корректных возму-
• щений псевдообратного Г+
§10. Выбор параметра г
10.1 Принцип невязки
10.2 Обобщенный принцип невязки
§11. Критерии последовательного выбора параметров регуляризации
11.1 Критерий выбора (р; П)
11.2 Критерий выбора (р, 7; П)

Глава V. Приложение
§12. Задачи оптимального управления
§13. Численное приложение
Заключение
Литература

В начале XX века при выяснении вопроса о соответствии математических и физических моделей задач естествознания впервые было введено понятие некорректной задачи. Часто абстрактной моделью таких задач служит линейное операторное уравнение
Ах — у (0-1)
с непрерывным оператором А, действующим между гильбертовыми пространствами X и У. По уравнению (1) требуется найти нормальное относительно заданного элемента хо^Х псевдорешение ж* (или просто нормальное псевдорешение х*, если жо=0), принадлежащее множеству
Хл = {х еХ : || Ах - у\ = inf || Аи - у||}.
u€ X
Если А+ - псевдообратный к оператору А, то нормальное псевдорешение уравнения (1) запишется в виде
ж* = А+у, (0.2)
а нормальное относительно жо нсевдорешение -
Ж* — Ж -}-
где PjV(H) - ортопроектор на ядро N(A) оператора А. Поэтому задачу отыскания нормальных псевдорешений уравнения (1) можно назвать задачей псевдообращения.
Не останавливаясь на истории вопроса, отметим, что одним из наиболее важных методов решения задачи псевдообращения является метод регуляризации А.Н. Тихонова, состоящий в аппроксимации решения (2) семейством {жа}, а>0, экстремалей функционала
Фа(ж) = ||Лж-у||2-1-о;||ж||2. (0.3)
Теории и методам решения некорректного уравнения (1) посвящены
многочисленные исследования, опубликованные в периодических изданиях, и которые нашли отражение в известных монографиях А.Н. Тихонова и В.Я. Арсенина [45], В.К. Иванова, В.В. Васина и В.П. Тананы [26], М.М. Лаврентьева [29], Ф.П. Васильева [19], Г.М. Вайникко и А.Ю. Веретенникова [18], A.B. Бакушинского и A.B. Гончарского [16], В.В. Васина и А.Л. Агеева [21], а также в работах [17], [30], [31], [36], [38], [43], [47] и многих других.
Начиная с 1970 года, стали появляться практические задачи, абстрактной моделью которых служит уравнение (1), но неизвестная ж - не произвольный вектор пространства X, а удовлетворяет некоторым линейным связям, которые можно описать с помощью другого линейного уравнения
Вх — z (0.4)
с непрерывным оператором В, действующим между гильбертовыми пространствами X и Z. По уравнениям (1) и (4) требуется найти элемент ж*, ближайший к заданному жо£Х, принадлежащий множеству
ХА = {х Е Xi : ||Ах - у\ = inf \Аи - у||}, (0.5)
и€Х
где Xi={a;£yY: \Вх—z\= inf \Ви—z||}.
и€Х
Эта задача по аналогии с предыдущей называется задачей связанного псевдообращения, элемент ж*бАщ, ближайший к xq, - нормальным относительно xq связанным псевдорешением уравнения (1), а при жо=0 -нормальным связанным псевдорешением этого уравнения и обозначается
л,*

Задача связанного исевдообращения, когда заданный элемент жо^О, ранее не рассматривалась вообще. При жо=0 задача связанного псевдообращения поставлена независимо в работах N. Minamide и К. Nakamura [58] и В.А. Морозова [37]. Японские математики ввели понятие сужеЕшого псевдообратного оператора и записали точный вид нормального решения х* задачи (5):
х* = В+z + (APN(B))+(y - AB+z), (0.6)
где PjV(b) - ортопроектор на ядро N(B) оператора В.
В.А. Морозов предложил и исследовал вариационный однопараметрический регуляризирующий алгоритм построения этого решения, используя функционал А.Н. Тихонова (3) с естественной заменой стабилизирующей его части на \Bx—z\2. Решению задачи связанного псевдообращения методом регуляризации посвящены также работы ряда авторов [3], [23], [33], [40], [55], [56], но во всех этих работах предполагается выполненным условие дополнительности операторов А и Б:
Зу > 0 : ||Аж||2 + ||Вж||2 > у2||ж||2 Vt £ X, (0.7)
из которого в частности следует, что множество ХА одноэлементно. При
отсутствии условия дополнительности задачу (5) рассмотрел Р.А. Шафиев в работах [48], [49], [50] и других, которые вошли в монографию [51].

лую норму (7.1). Как оказалось, в этих условиях устойчивость методов достигается за счет установления связей между параметрами.
1. Сузим класс возмущающих операторов: пусть операторы Аь—А, В^—В удовлетворяют условию (7.1) и составленные из них операторы Г—Г принадлежат классу корректных возмущений псевдообратного Г+. Этот класс, полное описание которого приводится в теореме 1.10 и замечании 1.11, будем называть суженным классом возмущений.
Следствия, которые вытекают отсюда, для удобства чтения приведем • здесь полностью: операторы Ап В обобщенно дополнительные, т.е.
Зу > 0: ||Аа:||2 + ||Бж||2 > 72||ж||2, х Е (-АДИ) П Аг(7?))х; (9.3)
выполнены условия аппроксимации:
1И£-Л||<*, \Вн-В\<к, \Уг-у\<т, ||2д-г||<5, (9.4)
З7 > 0: \Atxl2 + \Вкх\2 > 72||х||2, х Е (IV (.АД П М(ВН))Х. (9.5)
Для составных операторов условия (3) - (5) принимают вид:
Э7 > 0: ||Гас|| > 7||ж||, х Е 77(Г)Х, (9.6)
||Г - Г|| < Л2 + К1, ||р - д\ < /т2 + 62, (9.7)
37> 0: ||Гх|| >7||аг||, же#)1. (9.8)
Неравенство (1.14) позволяет вычислить 7. Действительно, если уровни возмущений 1 и /г достаточно малы, например,
у/В + й? < ^7, (9.9)
то тогда \Т+У?+К< и согласно (1.14)
ЦГ+|| < 2||Г+|| < 1 (9.10)
и, следовательно, можно принять
7 = ^7- (9.11)
В дальнейшем будем предполагать, что уровни возмущений 1 и /г удовлетворяют неравенству (9) и, значит, в условиях аппроксимации (5), или (8), 7 определено в (11).
• 2. Вернемся к исследованию методов.