Последовательности функций в симметричных пространствах и их приложения в геометрии банаховых пространств и теории операторов

• Автор: Новиков, Сергей Яковлевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Самара
• Количество страниц: 201 с.

Содержание
Введение з
1 Предварительные Сведения
.1.1 Общие сведения из функционального анализа
1.2 Примеры пространств и операторов
1.3 Функции Радемахера. Тип и котип банахова пространства
1.4 Соотношения между типом (котипом) и выпуклостью (вогнутостью) банахова идеального пространства
1.5 Г-УСТОЙЧИВЫЕ ФУНКЦИИ в симметричных пространствах
2 Спектр функционального пространства Лоренца
2.1 9-ВОГНУТОСТЬ ПРОСТРАНСТВА Ар(ср)
2.2 Положительные операторы на пространстве непрерывных функций со значениями в пространствах Лоренца
2.3 Тип пространства Лоренца
2.4 Спектр пространства Лоренца
3 Об особенностях оператора вложения симметричных функциональных пространств на отрезке и на полупрямой
3.1 Предварительные замечания
3.2 Граничные пространства для оператора вложения Ц^Ь^Х)
3.3 Оператор вложения 1(Х,Ьх) для БСП X
3.4 Оператор вложения между пространствами Орлича на отрезке
3.5 Операторы вложения квазибанаховых симметричных пространств
на [0,1]. Сквозные подпространства
3.6 Изоморфизмы симметричных функциональных пространств на отрезке и на полупрямой. Единственность симметричной структуры пространств 1-1 [0, оо) Г)£оо[0,оо) и Ь [0, оо) + Гоо[0, со) .
3.7 Строгая сингулярность вложения Лх[0, оо) П^<»[0,оо) в рефлексивное СФП
3.8 Операторы вложения между СФЛ на [0, оо)
4 Двойственность функциональных и секвенциальных пространств, задаваемая последовательностями функций
4.1 Ограниченность почти всюду. Классы А°°(р,д) и А°°(р,д)
4.2 Сходимость почти всюду. Классы Л°Ар, 9)
4.3 Сходимость по норме. Классы
5 Пространства последовательностей 1т в вероятностных характеризациях операторов слабого типа
5.1 Предварительные замечания
5.2 Факторизация операторов через пространство 1Р
5.3 Совпадение независимых и свободных (А, ^-множеств
5.4 Операторы, ограниченные в пространстве Ьр<сс, р >
5.5 Операторы, симметрично порядково ограниченные
В ПРОСТРАНСТВЕ КР:Г, 0 < р < ОО, 0 < Г < ОО
5.6 Свойства надлинейных операторов, инвариантных относительно сдвига, определенных на пространствах Лоренца
Литература

Введение
Общая характеристика работы
Актуальность темы. Функциональные последовательности — один из основных объектов математического анализа. Они активно используются не только в его классических разделах, но и в тех, создание которых пришлось на вторую половину ХХ-го века. Так, например, весьма важными числовыми характеристивами абстрактного банахова пространства оказались тип и котип, определяемые различными последовательностями вещественных функций. Геометрическая структура функционального пространства во многом определяется подпространствами, порожденными конкретными системами функций.
Оказалось, что и в общих теоремах факторизации операторов не обойтись без глубокого понимания структурных свойств функций, образующих множество с определенными свойствами (например, ограниченное в каком-то смысле) в том или ином функциональном пространстве.
Рассмотрение функциональных последовательностей в банаховом или более общем квазибанаховом пространстве лежит на пересечении теории функций, функционального анализа и теории вероятностей. Накопленный фактический материал требует свежего взгляда и осмысления с более общих позиций. Многое проясняется в этих вопросах привлечением идей двойственности, столь характерных для абстрактного функционального анализа. Понятие строго сингулярного оператора, возникшее в работах Като по теории возмущений линейных операторов, позволило по-новому взглянуть на одну из самых известных функциональных последовательностей — систему Радемахера.
Функциональные последовательности по-прежнему содержат в себе много возможностей для приложений, и трудно назвать раздел математики, где бы они не оказались полезными.
Данная работа посвящена изучению свойств функциональных последовательностей в симметричных функциональных пространствах, включающих в себя классические лебеговы пространства Ьр, пространства Лоренца Лр(<р) и Ьм, пространства Орлича и другие.
Цель работы:
- найти спектры (по Л.Шварцу) функциональных пространств Лоренца Лр(<р) и ЬРгЧ с использованием типа и котипа, определенных последовательностью функций Радемахера;

- построить диаграммы (г, 5)-вогнутости и (г, ^-выпуклости пространства ЬРд и применить их к доказательству абсолютной суммируемости положительных операторов, определенных на пространстве непрерывных функций С (К) со значениями в пространстве Ьрд]
- исследовать свойства строгой сингулярности и абсолютной суммируемости простейшего оператора тождественного вложения двух симметричных функциональных пространств, связанные с наличием или отсутствием так называемых «сквозных» бесконечномерных подпространств, порожденных функциональными последовательностями;
- исследовать новый вид двойственности между функциональными пространствами и пространствами числовых последовательностей (иногда, для краткости, мы называем их секвенциальными пространствами), которая порождается функциональными последовательностями;
- обобщить и модифицировать понятие Л-системы (по Никишину), привлекая секвенциальные пространства Лоренца, таким образом, чтобы было возможным получать и новые факторизационные теоремы, и отличать операторы, допускающие факторизацию, от операторов слабого типа с помощью функциональных последовательностей.
Методика исследований. Основными методами исследований являются методы математического и функционального анализа, теории функций и теории вероятностей, теории операторов. Новизна методов состоит:
- в использовании последовательности функций Радемахера для исследования абсолютно суммирующих операторов, определенных на функциональных пространствах Лоренца или принимающих значения в этих пространствах, и для нахождения спектра пространства Лоренца;
- в исследовании сквозных подпространств и их границ в симметричных функциональных пространствах, что позволило найти критерии строгой сингулярности оператора тождественного вложения крайних симметричных пространств, обобщающие известные теоремы Гротендика и других авторов;
- в определении и изучении нового вида двойственности функциональных и секвенциальных пространств, порожденной функциональными последовательностями;
- в применении введенной автором двойственности к теоремам факторизации операторов и получении оценок слабого типа для операторов, инвариантных относительно сдвига;
- в сочетании вероятностных и аналитических методов для решения по-

Функциональные пространства Лоренца и Марцинкевича.
Пусть ) всех измеримых на [0, оо) функций /, для которых

f*(t)d Если <р(+0) у- 0 и <^(оо) < оо, то Л(^) = £<*>. Пространство Л(<р) является симметричным пространством относительно нормы

II/Нам = f f*{t)dv{t)

и называется функциональным пространством Лоренца [20]. Пространство А(<р) сепарабельно, т.е. выполняется условие (Л), тогда и только тогда, когда
у?(+0) = 0, ф(о°) = оо.
При выполнении этих условий
(A (
М (<р)

/ € L0(0, оо) : Ц/Цмн = sup ° ,
0 = SUp -— --------г— < ОО
ес[0,оо) <Р(те)
Пространство М(<£>) называется функциональным пространством Марцинкевича [20, гл.II].
Считая, что <^(+0) = 0 и <р(оо) = оо, обозначим через М°(