Локальная асимптотика полиномов, удовлетворяющих рекуррентным соотношениям

• Автор: Туляков, Дмитрий Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Нижний Новгород
• Количество страниц: 105 с.

ВВЕДЕНИЕ
ОГЛАВЛЕНИЕ

ГЛАВА I. ЛОКАЛЬНАЯ АСИМПТОТИКА ОТНОШЕНИЙ ОРТОГОНАЛЬНЫХ

ПОЛИНОМОВ

§1. Введение

§2. Общий подход к исследованию асимптотики полиномов и их отношений.

Формулировка основного результата

§3. Начало доказательства теоремы 1 и вспомогательные леммы

§4. Окончание доказательства теоремы

§5. Обсуждение основной теоремы. Дополнительные результаты
§6. Примеры
ГЛАВА ТТ. ПРИЛОЖЕНИЯ ЛОКАЛЬНОЙ АСИМПТОТИКИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ ПОЛИНОМОВ К ОЦЕНКЕ КОНСТАНТ В НЕРАВЕНСТВАХ
МАРКОВА-БЕРНШТЕЙНА
§1. Введение. Неравенства Маркова-Бернштейна
§2. Случай пространств с евклидовой нормой
§3. Асимптотика точных констант в пространствах Т2(гс) для некоторых
классических весов
§4. Вспомогательные свойства гипергеометрпческой функции
§5. Определение меры ортогональности для рассмотренных систем ортогональных многочленов
ГЛАВА Ж. НЕКОТОРЫЕ ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПОЛИНОМОВ,
СВЯЗАННЫХ РЕКУРРЕНТНЫМИ СООТНОШЕНИЯМИ
§1. Определение массы и асимптотики рекуррентных коэффициентов по поведению
крайних нулей ортогональных полиномов
§2. Аппроксимация ехр(—.т) на [0;+оо) обратными суммами ряда Тейлора..
ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ.
Актуальность темы. В теории ортогональных многочленов и их приложений одной из основных проблем является проблема асимптотического поведения ортогональных многочленов. Так называемая слабая асимптотика ортогональных многочленов определяет область сходимости рациональных аппроксимаций Паде функций марковского типа (см. [28]). Асимптотика отношения ортогональных многочленов тесно связана со спектральным анализом разностных операторов второго порядка. Сильная асимптотика ортогональных многочленов на отрезке ортогональности связана с решением задачи рассеяния для разностных операторов типа Штурма-Лиувилля (см. [3]). В настоящее время хорошо изучены асимптотические свойства ортогональных многочленов вне носителя меры ортогональности, во внутренних точках носителя и в точках дискретных масс меры вне существенной части носителя. Актуальной является задача изучения асимптотики ортогональных многочленов в окрестности крайних точек существенной части носителя меры ортогональности. Этой проблеме и посвящена настоящая работа. Основной трудностью анализа асимтотики в этом случае является тот факт, что асимптотика вне носителя и в его внутренних точках формально не переходят одна в другую. Это требует разработки специальных методов асимптотического анализа для крайних точек носителя меры ортогональности.
Для случая классических многочленов Якоби, ортогональных на отрезке [-1; 1], асимптотика в окрестности точек —1, 1 даётся формулой Мелера-Гейне (например, см. [9]). Первый общий результат для широкого класса мер ортогональности получен А. И. Аптекаревым в [1]. Метод Аптекарева основан на приведении рекуррентных соотношений! для ортогональных многочленов к форме разностного аналога линейного дифференциального оператора второго порядка. Локальная асимптотика ортогональных многочленов получается при этом предельным переходом от разностного уравнения к дифференциальному. Такой подход, однако, даёт ответ далеко не для всех интересных случаев. В диссертации предложен более общий метод анализа асимптотики в окрестности крайних точек носителя меры ортогональности. В основе метода лежит приближение дискретной динамической системы, порождённой рекуррентным соотношением для ортогональных полиномов, некоторой непрерывной

динамической системой и последующий анализ погрешности приближения. Такая более общая тонка зрения позволяет получить более общие результаты и сделать анализ точности полученных результатов.
Цель работы. Исследование асимптотики ортогональных полиномов в окрестности крайней точки носителя меры ортогональности на основе предложенного в диссертации общего метода. Исследование обратной задачи: по асимптотике крайних нулей ортогональных многочленов определить локальные свойства меры ортогональности. Приложение полученных результатов к асимптотике точных констант в неравенствах Маркова-Бернштейна в пространствах Ь2(и>) для некоторых классиче-ких весов т(х).
Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми или получены новыми методами.
Методы исследования. Используются методы математического анализа, теории функций, элементы теории динамических систем.
Практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты могут найти применение в теории функций.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались в МГУ на научном семинаре под рук. А. И. Аптекарева, в Математическом институте им. В. А. Сте-клова РАН на семинаре под рук. академика РАН А. А. Гончара, на научном семинаре в Нижегородском техническом университете под рук. В. А. Калягина, на научном семинаре ИНСА г. Руана (Франция) под рук. А. Дро.
Структура работы. Диссертация состоит из введения, 3-х глав, разбитых на 13 параграфов, и списка литературы.
Публикации. Основные результаты опубликованы в 3 работах автора, список которых приведён в конце автореферата.
Содержание работы. В первой главе диссертации исследуется локальная асимптотика отношения многочленов, заданных рекуррентным соотношением второго порядка. В §1 изложено введение в проблему и сформулирован основной результат из работы А. И. Аптекарева [1]. В §2 описан общий подход, развиваемый в данной работе, и приведена формулировка основного результата. Основным результатом главы 1 является следующая теорема:

Первое неравенство системы (35.1) содержится в (37), а для получения второго надо подставить (36) в определение Dn и применить (37), заменив п на гг—1. Что касается системы (35.2), её неравенства получаются простыми применениями неравенства треугольника. Лемма 6 доказана.
Лемма 6 даёт возможность оценить Ап, а следовательно, и Qn(z), как сверху, так и снизу, в зависимости от того, что нам нужно в каждом конкретном случае. Разберём отдельно случаи сходимости и расходимости ряда S2.
Итак, пусть г„^0 и Ъп— Хо одного знака для всех п^О (выше было показано, что такое предположение не ограничивает общности), и предположим, что ряд S2 расходится. Возьмём Ууё0, и таким, что и/(х§— bo) > 1, определим соответствующие Qn(z) и применим оценку (35.1) леммы 6. Тогда Aq = 1, А = (z—bo)/(xo—bo), откуда по определению Do=u/(xo~bo) > 1. Теперь по индукции из (35.1) и наших предположений можно сделать вывод, что
п п — 1 к
»п>П rj ’ и« I ^ Е ТТ ri;
1=1 к=01=
я 1 j2 n —1 ^
Qn(z) > /|то-Ьо|(1+гп)^|хо-5„| Л r^j EIIri (38)
j= 1 к=0 j=
Так как по предположению ряд S2 расходится, то ряд J3IQ«(Z)|2 расходится, что

означает единственность решения проблемы моментов.
Другой случай: пусть вновь гп^0, Ьп—хо одного знака для всех п^О, и ряд S2 сходится. Так как гп^0, то
п —1 т п — т
Е П г> ^ (Е П rj) * т-е-
тп=0 j=l 771—0 j= I
ОО П — 1 771 П j
существует M: Е(ЕП ri) (ко—[ JI Гу) <м
П = 1 771 = 0^=1 ^=
Величины 1 + гп ограниченны равномерно по п. Пусть (1 + гп) < R для
всех п. Возьмём г = xo+u+iv такое, что и RMu+iv < 1. Обозначим
С = (l+J5o)(l — 7?М|м+ги|)-1. Рассматривая для выбранного г величины Ап, Еп (см. лемму 6), для начальных значений имеем
Ло=1 ; |Ai| < 1+Ео < С