Плюригармонический анализ Фурье и теория функций

• Автор: Дубцов, Евгений Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 198 с.

Содержание

Основные обозначения и определения

Работы автора по теме диссертации

Глава 1. Плюригармонический анализ мер

1.1. Меры Хенкина

1.2. Плюригармонические меры и сингулярные множества

1.3. Плюригармонические произведения Рисса

1.4. Г2-обобщенные произведения Рисса

1.5. //“-обобщенные произведения Рисса

1.6. Г2-допустимые мажоранты

1.7. Большие размерности

1.8. Многомерная теорема Ивашева-Мусатова
1.9. Сверточные степени срез-мер
Глава 2. Гладкие меры и их интегралы Пуассона
2.1. Гладкие меры на сфере
2.2. Меры Зигмунда и симметричные меры
2.3. Кубы и параллелепипеды
2.4. Гармонические продолжения
2.5. Критическая скорость убывания

Глава 3. Факторизация и задачи теории функций
3.1. Факторизационная теорема для класса Неванлинны
3.2. Ограниченные функции из малого пространства Блоха
3.3. Внутренние функции из малого пространства Блоха
3.4. Исправленные внешние функции и пространства Бесова
3.5. Слабо внешние внутренние функции
3.6. Циклические функции и теорема о короне
3.7. Слабо внешние функции с предписанным модулем
3.8. Операторы композиции и обратный сдвиг Лейбензона
Литература

Настоящая работа в первую очередь посвящена исследованию функций и мер, заданных на единичной комплексной сфере
5 = 5в = {СеС" : |С| = 1}, п > 2.
Отметим, что сфера является однородным пространством, а именно, 5 = и(п)/и(п — 1), где Ы{п) обозначает группу всех унитарных операторов на гильбертовом пространстве Сп.
Задачи гармонического анализа. Общие конструкции абстрактного гармонического анализа могут быть явно реализованы на сфере 5 в терминах пространств Н(р, д), (р, д) Е
Определение. Зафиксируем размерность п. Векторное пространство Н(р, д) по определению состоит из однородных гармонических многочленов бистепени (р, д) Е 1>. Это означает, что рассматриваемые ПОЛИНОМЫ имеют степень Р ПО переменным г, 22, ..., гп, степень д по переменным Л], гг гп и общую степень р + д. Тот же символ будет использоваться для сужения Н(р, на сферу 5.
Часто Н(р, д) называют пространством комплексных сферических гармоник.
Обозначим символом а нормированную меру Лебега на сфере. Отметим, что
Ь2(а)= © Н(р,д).
Особенности гармонического анализа на 5 удачно иллюстрирует следующее правило умножения для пространств Н(р,д): если / Е Н(р,д) и д Е Н(г, я), то произведение fg принадлежит сумме

^Н(р + г - 1,д + я - £),

$к+ —> оо. Отметим, что (рк/к+1 > сопв1;(/;) > 0 и <^.+1 > сопэ^А;) > О для всех достаточно больших индексов 1к+- Таким образом, выберем индекс jk+1 столь большим, что выполнены оценки
<рк+1
Рк/ш

< Єк И
С(3)
Рк/к+1

< є*-
С(5)
Индукционный переход совершен.
Изучим свойства построенных произведений 7Г и П. Положим И* = П*=1 /}• Тогда получаем
<Рк+1
п*+і
С(5)
Пк+1 1
Ш=і Ріїз+1
С(5) І
Иными словами, последовательность {(<^а-)с/(Щ-)с}£1 ограничена в пространстве Т°°(П^) для каждый точки £ е 5. Поэтому искомое свойство дп^/дП£ 6 Ь°° имеет место в силу сходимости
(ЫСл
^Пг

(П*)с‘с
в слабой* топологии при к —> со. Оценка для производной сШ^/длт^ осуществляется аналогичным образом. □
Взаимно сингулярные произведения Рисса. Доказанная лемма позволяет ожидать, что каждый результат о взаимной сингулярности (абсолютной непрерывности) для классических произведений Рисса имеет аналог для //“-обобщенных плюригармонических произведений. В частности, критерий Пейрьера для //“-обобщенных мер Рисса имеет следующий вид.
Теорема 1.5.5 Рассмотрим на сфере Ь°°-обобщенные пары Рисса (Я, а) и (Я,Ъ). Предположим, что Iа* — М2 = 00• Тогда для
всех достаточно лакунарных множеств индексов / С N свойство п^(Я, 7, а)±7Г^(Д, 7, Ь) справедливо для всех точек £ Е Я. В частности, имеем п(Я, «/, а)±7г(/?, J, Ъ).