Положительные решения нелинейных уравнений в F-пространствах

• Автор: Дорохов, Александр Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 94 с.

Оглавление
Введение

§ 1. Существование неподвижных точек вполне непрерывных

операторов в /-пространстве

§2. Существование неподвижных точек у сжимающих операторов,

возмущённых вполне непрерывными операторами, в /'’-пространстве

§3. Существование неподвижных точек уплотняющих операторов

в/-пространстве

§4. Неподвижные точки монотонно компактных операторов в

Б-пространстве с конусом

§5. Существование неподвижных точек монотонных уплотняющих

операторов в Б-пространстве с конусом
§6. Приложение
Список литературы

Введение
Одним из важных разделов современного анализа является теория нелинейных операторных уравнений в банаховых пространствах [26, 33, 41, 51] с конусами [18, 19, 24, 25, 34], созданная М.А. Красносельским [34-38] и его учениками [2, 3, 4-16, 28, 39, 47-50].
Ценность этой теории обуславливается, в частности, её многочисленными приложениями различных задачах естествознания: в задаче о критическом режиме ядерного реактора [8, 9], в теории волн на поверхности тяжёлой жидкости, в задачах о формах потери устойчивости упругих систем [35], в задачах геометрии в целом [34], в теории устойчивости [36], в теории нелинейных краевых задач [34], в математической экономике и т. д.
Естественно возникает вопрос о её распространении на более широкие классы пространств чем банаховы и, в частности, на Б-пространства (пространства Фреше). Этот класс пространств, кроме банаховых, включает в себя такие важные пространства как счётно-нормированные и пространства ЕР(0<р<1), 1р(0<р<1).
Развитию теории нелинейных операторных уравнений в Б-пространствах и посвящается данная диссертационная работа. Тема диссертации актуальна и представляет реальных научный интерес.
Основными целями диссертационной работы является разработка следующих вопросов:
1) доказательство новых теорем существования неподвижных точек вполне непрерывных операторов, действующих в Б-пространствах;
2) доказательство в Б-пространствах признаков существования неподвижных точек у операторов, представимых в виде суммы сжимающего и вполне непрерывного операторов;
3) доказательство в Б-пространствах теорем существования неподвижных точек уплотняющих операторов;

4) получение признаков существования неподвижных точек монотонно компактных операторов, действующих в Б-пространствах с конусом, без предположения непрерывности исследуемых операторов;
5) выделение специального класса уплотняющих операторов в Б-пространствах с конусом и доказательство существования у них неподвижных точек, без предположения их непрерывности;
6) приложение полученных результатов в теории нелинейных интегральных и дифференциальных уравнений в конкретных функциональных Б-пространствах.
В диссертации основные теоремы о неподвижных точках нелинейных операторов распространяются с банаховых пространств на Б-пространства.
При естественных ограничениях на Б-пространства, которые автоматически выполняются для банаховых пространств, доказаны теоремы существования неподвижных точек вполне непрерывных операторов, операторов, представимых в виде суммы сжимающего и вполне непрерывного операторов, уплотняющих операторов.
Эти теоремы являются развитиями известных принципа Шаудера [30, 33, 42] и теорем М.А. Красносельского [34, 36-38], Р.Л. Фрум-Кеткова и Б.Н. Садовского [47-50].
На Б-пространства с конусом распространены известные теоремы И.А. Бахтина о неподвижных точках монотонно компактных и монотонных уплотняющих операторов [6, 9, 10, 13-21], вообще говоря, не обладающих свойством непрерывности.
Полученные результаты применяются к исследованиям в конкретных функциональных Б-пространствах некоторых классов интегральных, интегро-функциональных и бесконечных систем дифференциальных уравнений.
Приведём обзор содержания диссертации по шести параграфам, на которые она разбита.

1) в /’-пространстве X непрерывный, ограниченный, (/-уплотняющий оператор А преобразует непустое замкнутое ограниченное по р-норме ||х||
выпуклое множество V в себя;
2) выполняется по крайней мере одна из серий условий:
а) сопряжённое пространство X* достаточно в X;
для любого относительно компактного множества М с= X множество со М так же относительно компактно;
б) при каждом теХ функция <рД£) = || £х|| возрастает по переменной £ в промежутке [0,+оо);
существует число Ъ > 0, такое, что |[ 1х || < Ы х || (( е [0,1], хеХ);
в X существует норма ||х|| и числа а > 0 и г0 > 0, такие, что
а||х|| < ||х||р (х е Х,\х\р < г0);
в) сопряжённое пространство X* достаточно в X;
оператор А усиленно непрерывен на множестве V;
г) сопряжённое пространство X* достаточно в X;
оператор А слабо непрерывен на множестве V.
Тогда существует элемент х, е V, такой, что Ах, — х
Доказательство. Возьмём произвольный элемент х0 е V и построим последовательность
х„ = Ахп-1 (леЛО (1)
Так как (х„) = {х,} и (х„)" 2 = {х,} 11 {Ахп ), то в силу свойств 1), 4) меры
некомпактно сти |/:
у ((х„)) < тах {у ({х2}), у({Ах„ )) } = шах {0, у/((Ахп))} - у((Лх„ )).
Поэтому 1)/((хл))= 0, так как в противном случае в силу |/ -уплотняемости оператора А было бы: у (Ыхп)) < |/( со (Дх„))<|/((х„)) , что невозможно.
Итак, 1|/((х.:)) = 0 и, значит, последовательность (хп ) компактна.