Неравенства Джексона в пространствах Lp, 1≤p≤2, с весом

• Автор: Чертова, Дарья Вячеславовна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Тула
• Количество страниц: 117 с. : ил.

Содержание

Обозначения
Введение

Глава 1. Неравенства Джексона в пространствах 1,Р)ДЖ)

на прямой со степенным весом

§ 1. Элементы гармонического анализа на прямой со степенным

весом

§ 2. Операторы обобщенного сдвига и модули непрерывности

в пространствах 1/р>а(Е)

§ 3. Неравенства Джексона в пространстве ГгДК)

§ 4. Неравенство Джексона в пространствах ГрДЖ), 1
р <
§ 5. Оценка константы Джексона в пространствах ЬРг(Ш), 1
р < 2, снизу
Глава 2. Неравенства Джексона в пространствах Гр а(Т)
на торе с периодическим весом Якоби
§ 1. Элементы гармонического анализа на торе с периодическим
весом Якоби
§ 2. Операторы обобщенного сдвига и модули непрерывности
в пространствах Ьр,а(Т)
§3. Неравенства Джексона в пространстве £2,а (Т)
§ 4. Неравенство Джексона в пространствах ЬРла(Т), 1
< р <
Список литературы
Обозначения

N — множество натуральных чисел, Z — множество целых чисел, R — множество действительных чисел, С — множество комплексных чисел;
supp / — носитель непрерывной функции / (наименьшее замкнутое множество, вне которого функция равна нулю);
Г (ж) — гамма-функция, J(x) — функция Бесселя порядка Л >
— 1/2, j(x) = 2ЛГ(Л + 1) "О/-- — нормированная функция Бесселя;
qx — наименьший положительный нуль функции Бесселя Jу. Ы2Л+1
v(x) = 2*ыг(л+"Г) — степенной вес на R; d(i{x) = V{x)dx — мера в R;
LPt(M), 1 < р < оо — пространство комплексных измеримых по
( V/P
Лебегу на R функций / с конечной нормой ||/||Р!а = ( / fpdyx ) ;
R J
Loo(R), Cb(R) — пространства измеримых по Лебегу ограниченных функций на R, непрерывных ограниченных функций соответственно;
Dxf(x) = f’(x) + (A + 1/2)
— дифференциально-разностный оператор Данкля;
е(ух) — обобщенная экспонента (решение уравнения Df{x) = = iyf(x), /(0) = 1);
/(у) = / f(x)ex(xy)dfj,x(x) — преобразование Данкля; к
Ер д, а > 0 — класс функций / G LP)a(R), которые являются сужениями на R целых в С функций экспоненциального типа сг;
ErU)p,а = inf {||/ - у||р,л : 9 е Lp,}
— наилучшее приближение функции / € LP;a(R) классом Е°
Д, Ть — операторы обобщенного сдвига в LP:a(R);
д;/(х) = (/ - т‘уп№, а im = (i- т‘у'У(х)

— разностные операторы порядка г > 1;
Wr(S,f)2, = sup ||Д[/||2,л, üjr(öj)2,л = sup ||Д[/||2)л,
|t|<<5 |t| . Х/2
w(<5,/)2,а = sup ( f (т‘|/(у)-/(ж)|2)| фл(ж) модули непрерывности функции / € 1/2,Al
. 1/p
w(<5, /)p,A = sup ( f {Ть/(у) - f(x)p)yxdßx(x)
t — модуль непрерывности функции / £ Lptxj,
(g * /)(ж) = JTyg(x)f (y)dyx{y) ~ свертка функции g и четной

функции /;
Pna'at) - ортогональные многочлены Якоби на отрезке [—1,1] С весом (1 — t2)a, ДЛЯ которых Pn“’a(l) = 1, <Ро(х) = 1, (Рп(х) = = Pn“’a)(cost), фп(х) = (n(n + 2a + 1))-1/2 Т = (—7г, 7г] — одномерный тор;
а; —1/2, цДт) = |sinx-|2a!+1 — периодический вес Якоби (ультрасферический вес);
dua{x) = va(x)dx — мера на Т;
Lp,a(T), 1 < р < оо — пространство 27Г-периодических комплексных измеримых ПО Лебегу функций / С конечной нормой II/Ир,О
1 /р
= ( f f{x)pdua(x)
D«m = fix) + (а + 1 /г/И. /( х)

— периодический аналог дифференциально-разностного оператора Данкля;

lli ||i-»i = sup <

(Ttf)gdiix : ||/||i,i < 1, NU < 1, /,5 <
= sup
1,1 < 1) Halloo < 15 /) 5 G Co < Ml 00-00 < I-

Лемма 1.3 доказана.
Проверим, что Tif(x) — /(ж). Пусть
g = f(A)(l + B) + f(-A)(l-B).
Если x = 0, то А — В = 0, д — 2/(0) и Т°/(0) = /(0). Если
ж > 0, то В = 1, А = ж, 9 = 2f(x) и Г°/(ж) = /(ж). Если ж < 0, то
5 = -1, А = -ж, д = 2/(ж) и Г//(ж) = /(ж).
Так как
Л(—£) = ж2 + t2 + 2xtcos

D/. Ж + t COS

= A{—t) = й[7) ’
то, делая в (1.2.13) замену я — <р = б, получим, что
Т-Г7(ж) = T{f(x).
(1.2.17)
Вычислим Т{/(0). Можем считать t > 0. Имеем А — t, b = cos ср, д = 2 /е(г) - 2f0(t) cos <р,
7Г 7Г
Tlf(0) = cxfe(t) J sin2A ipdip — cf0(t) J cos