Оператор экстраполяции с конечного множества вектор-функций из квазиполиномов и его приложения

• Автор: Завьялов, Максим Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 88 с. : ил

Оглавление
Введение
Глава 1. Решение обратной задачи для однородной
системы ОЛДУ
§1. Прямая задача
§ 2. Обратная задача
Глава 2. Решение обратной задачи для неоднородной
системы ОЛДУ
Глава 3. Оператор Прони и его приложения
§1. Локально выпуклое пространство [1, Н[в))п
§2. Выпуклые функции
§3. Оператор Прони для однородных систем ОЛДУ
§4. Приложение оператора Прони
Список литературы

Введение
Актуальность темы. Одной из популярных задач комплексного анализа является проблема аналитического продолжения функций. Отчасти это связано с тем, что на практике динамика показателей многих процессов допускает математическое описание с помощью аналитических функций, причём входная информация задаётся в виде значений показателя в конечном числе узлов временной сетки.
Важным случаем этой проблемы является задача экстраполяции функции или системы функций, являющихся квазиполиномами, по их значениям в конечном числе узлов равномерной временной сетки.
Определение 1. Квазиполиномом называется конечная сумма
№ = 52т)е*

экспонент с полиномиальными коэффициентами. Здесь показатели экспонент и коэффициенты полиномов - комплексные числа.
Определение 2. Порядком квазиполинома /(£) назовем число

огд(/) :=п+^2 йед{Р&)). г=
Такое название объясняется тем, что квазиполином /(£) является решением обыкновенного линейного дифференциального уравне-

ния (ОЛДУ) с постоянными коэффициентами конечного порядка т — ord(f).
Первый способ восстановления квазиполинома по его значениям в конечном числе узлов равномерной временной сетки восходит к Прони (Gasparo Riche, baron de Prony, [1] (1795)). Прони указал сам алгоритм восстановления, но вопрос о корректности этого алгоритма остался открытым.
Вкратце опишем основную идею алгоритма Прони. Как известно, функция f{t) = eat является собственной функцией оператора дифференцирования £ = ^ с собственным значением а. Но она же является собственной функцией и оператора сдвига [£>/](£) = f(t + 1) с собственным значением еа. Поэтому f(t) = eat есть решение некоторого разностного уравнения, которое можно восстановить, зная лишь значения функции в конечном наборе равноотстоящих друг от друга моментах времени. Решая это разностное уравнение, восстанавливаем функцию.
В настоящее время известно несколько модификаций алгоритма Прони - их обзор приведён в [2, гл. 11], [3, гл. 2] и [4, гл. 2]. В частности, вопрос о корректности алгоритма Прони (существование, единственность, устойчивость к малым колебаниям входных данных) для решений ОЛДУ конечного порядка с неизвестными постоянными комплексными коэффициентами исследовал Маергойз Л.С. [3, гл. 2] (1991).
Модификацию алгоритма Прони для восстановления вектор-функции из экспоненциально-гармонических сумм с неизвестными постоянными вещественными коэффициентами по её значениям в конечном числе узлов равномерной сетки исследовали Голубков В.В., Щербов С.Я. [5] (1980).
В общем случае, проблеме аналитического продолжения посвящено

и учитывая тот факт, что матрица G предполагается невырожденной, получаем:
А = GLG~ ' (1.27)
Так как матрицы G и L определяются единственным образом (с точностью до перестановки строк), то и матрица А определяется однозначно.
Таким образом, доказаны теоремы существования и единственности решения обратной задачи для системы (1.1) с краевыми условиями (1.2). Сформулируем окончательный результат в следующем виде:
Теорема 1.9. Пусть дана система вида (1.1) с неизвестной матрицей А, собственные числа которой принадлежат полосе
n(cZ) = {z Є С : |Im z < n/d}.
Пусть также известны невырожденные краевые условия вида (1.2) (невырожденность краевых условий означает, что у матрицы моментов У/v := (Со, Си ... , Cn) ранг равен п).
Тогда следующие утверждения эквивалентны:
1) существует единственная вектор-функция Y(t), являющаяся решением системы (1.1) и удовлетворяющая краевым условиям (1.2),
2) для моментов Со, Си-. • , Cjv существует единственный вектор р — (pi,P2,--- ,Рп) такой, что
Ck+n “ЬPiGk+n—і PnCk — О, VA: — 0,1,... , IV ті,
причём корни ассоциированного с вектором р многочлена
Tn{z) = zn + PiZn~l + . .. + Рп
лежат в С (—оо, 0].