Оптимальные методы приближения функций обобщенными полиномами и всплесками

• Автор: Фарков, Юрий Анатольевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 265 с.

Содержание
Введение

Глава 1. Поперечники и е-энтропия некоторых классов

аналитических функций

§ 1.1. Предварительные сведения о поперечниках и е-энтропии

§ 1.2. Аппроксимации функций, аналитических в круге

§ 1.3. Поперечники классов функций, голоморфных в шаре

и в трубчатых областях

§ 1.4. Об е-энтропии классов Харди-Соболева

§ 1.5. Об оптимальности аппроксимаций Фабера и Ерохина

§ 1.6. О наилучших линейных аппроксимациях функций,

аналитических в окрестности нескольких континуумов
Глава 2. Ортогональные всплески на локально компактных
абелевых группах
§ 2.1. Групповые аналоги всплесков Лемарье-Баттла и Шеннона
§ 2.2. О стабильных и р-ично целых функциях на группе Виленкина..
§ 2.3. Кратномасштабный анализ на группах Виленкина
§ 2.4. Алгоритмы построения ортогональных всплесков
на группах Виленкина
§ 2.5. О гладкости ортогональных всплесков на группе Кантора
§ 2.6. О безусловной сходимости всплесковых разложений
Глава 3. Некоторые модификации ортогональной конструкции
всплесков на локально компактных абелевых группах
§ 3.1. Биортогональные всплески на группах Виленкина
§ 3.2. Дискретные всплесковые р-адические базисы
§ 3.3. Периодические всплесковые р-адические базисы
§ 3.4. Фреймы на канторовой диадической группе
§ 3.5. Аналоги теоремы Гроссмана-Морле
§ 3.6. Применения биортогональных и периодических всплесков
к обработке изображений и фрактальных сигналов
Список литературы

Введение
Оптимальные методы приближения функций составляют раздел теории приближений, начало которому было положено А.Н.Колмогоровым. Введенный им поперечник отвечает на следующий вопрос: какой
точности приближения заданного класса можно достигнуть, если использовать в качестве аппарата приближения подпространства заданной размерности? В дальнейшем для изучения оптимальности различных методов приближения (линейных, интерполяционных и др.) были введены линейные, гельфандовские, александровские, бернштейновские и некоторые другие поперечники. Основные результаты о поперечниках изложены в работах В.М.Тихомирова [46]-|50] и монографии А.Пинкуса [116], где приведена подробная библиография. Методы теории поперечников играют важную роль в общей теории оптимальных алгоритмов (см., например, монографии К.И.Бабенко [3],
О.В.Локуциевского и М.Б.Гаврикова [23], Трауба и Вожьняковского [51]) и в некоторых современных задачах теории восстановления, отраженных в работах Б.С.Кашина и В.Н.Темлякова |19], В.Н.Темлякова 1127], Г.Г.Магарил-Ильяева и К.Ю.Осипенко [25], Д.Донохо [84], и др. В диссертации основное внимание уделяется обобщению и развитию методов приближения, возникших в работах К.И.Бабенко [2], В.Д.Ерохина 113], Л.В.Тайкова [45], Дж.Уолша [130] и X.Лэнга [111].
Напомним, что линейный n-поперечник подмножества А нормированного пространства X определяется равенством
Ап(А,Х) := inf sup ||/ - A„/|j, л- /ел
где нижняя грань берется по всем линейным ограниченным операторам Л„ ранга п, отображающих X в себя. Уклонением множества А от подпространства L в X называют величину
d(A, L, X) := sup inf ||z — у||,

a п-поперечник по Колмогорову множества ЛвА определяется равенством
dn(A,X) := inf d(A, Ln, X),

где Ln - произвольные подпространства из X размерности п. Легко видеть, что dn(A,X) < Ап{А,Х). Для предкомпактного множества А через N£(A; X) обозначают минимальное число точек в е-сети для А в X. Величина

Пе(А,Х) :=1о§2ЩАХ) называется г-энтропией множества А относительно X.
В диссертации рассматриваются несколько методов приближения, оптимальных относительно линейных и колмогоровских поперечников или по среднеквадратическому и энтропийному критериям. Под среднеквадратическими приближениями понимаются аппроксимации по 1/2-метрике в различных пространствах функций.Энтропийный критерий применяется в двух вариантах - для дискретных массивов данных (энтропия в смысле Шеннона) и для функциональных пространств (г-энтропия но Колмогорову). Детальное изложение конструктивных аспектов сопровождается соответствующими примерами и алгоритмами приближения, основанными на изучаемых методах аппроксимации. Основные результаты связаны с решением следующих задач.
1. Получить точные и асимптотически точные результаты о поперечниках и г-энтропии классов аналитических функций.
2. Найти групповые аналоги всплесков Шеннона и Лемарье-Баттла на локально компактных абелевых группах.
3. Для произвольного натурального п построить диадические всплески с компактными носителями на канторовой диадической группе, отвечающие масштабирующему уравнению с 2п коэффициентами, и получить оценки гладкости этих всплесков.
4. Построить ортогональные и биортогональные всплески с компактными носителями на р-адической группе Виленкина и их дискретные аналоги в пространствах последовательностей.
5. Построить периодические всплески с компактными носителями нар-адической группе Виленкина.
6. Построить фреймы Парсеваля и жесткие фреймы на диадической группе Кантора.
7. Вычислительными экспериментами по обработке изображений и фрактальных функций выявить преимущества построенных всплесковых систем по сравнению с базисами Хаара и Добеши, а также с биортогональным базисом 9/7, используемым в стандарте ЛРЕС2000.
В первой главе диссертации изложены результаты автора о поперечниках некоторых классов функций, аналитических в круге, приведены многомерные аналоги результатов К.И.Бабенко, Л.В.Тайкова и А.Пинкуса о поперечниках класса Харди-Соболева и вычислена асимптотика г-энтропии этого класса функций. Построены оптимальные

11/Ц2 = -/ |И^/М)|2а-2^.
сф йС'хС
Кроме того, для любой функции / 6 -Г2 (С) справедлива формула
/(*) = — [ Шфф{а,Ь)фа>ь{1)а~2дадЬ.
Сф йс-хв
где равенство понимается в смысле пространства Ь2(С).
Эта теорема аналогична хорошо известной теореме Гроссмана - Морле (сравните с [12, § 2.4) и [24]). Подобная теорема в § 3.5 доказана и для интегрального преобразования, определяемого с помощью многочленов Гегенбауэра. Отметим, что при специальном выборе а и Ь справедливы равенства фа.ь = и (Уф/)(а, Ъ) — (/, ^./,), так что жесткие фреймы и ортогональные всплесковые базисы в Г2(С?) можно рассматривать как дискретизации непрерывного всплескового преобразования.
В § 3.6 излагается конструкция биортогональных диадических всплесков на К+, аналогичная групповой конструкции из § 3.1 параграфа для случая р = 2. Показано, что для обработки некоторых изображений построенные в этом параграфе диадические всплески имеют преимущества по сравнению с ортогональными всплесками Хаара, Добеши и биортогональными 9/7 всплесками. Кроме того, в § 3.6 приведены примеры кодирования фрактальных функций с помощью периодических всплесков из § 3.3.