О кратных тригонометрических и ортогональных рядах

• Автор: Бареладзе, Георгий Паладионович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1983
• Место защиты: Тбилиси
• Количество страниц: 87 c. : ил

ГЛАВА I. ФУНКЦИИ ЛЕБЕГА КРАТНЫХ ОГРАНИЧЕННЫХ ОРТОНОРМИРОВАНИЙ СИСТЕМ

§ I. Числовые неравенства

§ 2. Функции Лебега кратных ограниченных ортонормированных систем

Глава II. АБСОЛЮТНАЯ И БЕЗУСЛОВНАЯ СХОДИМОСТЬ КРАТНЫХ РЯДОВ

ХААРА

§ I. О множителях Вейля для безусловной сходимости кратных рядов Хаара

§ 2. Абсолютная сходимость кратных рядов Хаара ..

Глава III. БЕЗУСЛОВНАЯ СХОДИМОСТЬ КРАТНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ И

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ

§ I. Безусловная сходимость кратных функциональных рядов

§ 2. О безусловной сходимости кратных тригонометрических рядов

ЛИТЕРАТУРА

0. В настоящее время в теории ортогональных рядов ведутся интенсивные и плодотворные исследования. Это вызвано как чисто теоретическими интересами, так и важностью приложений в физике, вычислительной математике, теории вероятностей, теории информации. Все большее внимание уделяется и изучению кратных ортогональных рядов. Они обнаруживают ряд интересных свойств, которые не всегда наблюдаются в одномерном случае. Тематика, связанная с изучением кратных ортогональных рядов, актуальна.
Диссертация состоит из трех глав, которые, в свою очередь, подразделяются на параграфы. Нумерация теорем производится внутри параграфов: номер главы, номер параграфа, номер теоремы. Это же касается следствий, лемм, замечаний. Каждый из последующих пунктов введения относится к определенной главе настоящей работы и содержит, в частности, краткий обзор основных утверждений соответствующей главы. Определения всех тех понятий и те обозначения, которые встречаются в формулировках теорем,-содержатся в основном тексте диссертации (см. стр. 21,29,35,46,78 ) и во избежание повторений и перегрузки введения мы не будем приводить их здесь.
1. Оценка снизу функций Лебега (см. [э], стр. 180; [19], стр. 4) ограниченных в совокупности ортонормированных систем была впервые получена А.М.Олевским [і2] в 1966 году. В 1975 году
извольной ограниченной в совокупности ортонормированной системы
С.В.Бочкарев доказал, что для функций Лебега
профункций, определенных на СРД1 , справедлива оценка
а ;
1.$ (і)

В работе [ю] 1978 года Б.С.Кашину удалось существенно
упростить известные до того доказательства этого результата. Им замечено, что оценка (I) есть следствие следующего числового неравенства: для любых действительных чисел -I СіД^

К, П.-1 к.
і а*
> с

•г7
В первом параграфе первой главы настоящей работы доказывается, в частности, справедливость следующего предложения.
Теорема 1.1.1. Для любого набора действительных чисел {<*„} и любого £ 6 (Д00) справедливо неравенство
ууъаоо 1ок1

(2)
где С£>0 зависит только от £ . Далее показано, что получен-

ная для Съ оценка не может быть улучшена по порядку при £ —^ 4 + и рассмотрено предельное неравенство с
Ь-і. •
Теорема 1.2.I второго параграфа распространяет, в некотором смысле, неравенство (2) на случай кратных последовательностей.
Из нее выводится оценка снизу для функций Лебега кратных ограниченных в совокупности ортонормированных систем. Именно, имеет место
Теорема 1.2.2. Пусть , (УМчи* - А- кратная
ортонормированная система на , ограниченная в совокупное-

X :
^ гкЗ(2к-% £к-ак, й" ]
}(1
к N • Так как 'г. биективно на (2. й и множества
{х'-Хо^о} при попарно не пересекаются,
то • / а Л
г). Из *>) следует, что ^ I П^1с,11 , так что
К>0
£.< со
к^о
Оценим теперь сумму ряда
ю О
|аХ^|7у
1&,
*^(27 2Л
К>0
I ^-ЧСи) Хп.Сил^
цц^гч
А<*к
гс,
«(г^гл