Поверхностные меры на пространстве траекторий в многообразии, порожденные броуновским движением в объемлющем евклидовом пространстве

• Автор: Сидорова, Надежда Андреевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 84 с.

1 Введение

1.1 Мотивировка и основные результаты

1.2 Структура работы и дальнейшие результаты

1.3 Терминология и обозначения

1.4 Основные идеи доказательств

1.4.1 Поверхностная мера Вр случай плоского нормального

расслоения

1.4.2 Поверхностная мера общий случай

1.4.3 Поверхностная мера §2

1.4.4 Сходимость поверхностных мер на бесконечности

2 Геометрия трубчатых окрестностей

2.1 Геометрические инварианты многообразия в специальных системах координат
2.1.1 Специальные системы координат
2.1.2 Производная проекции 7Г
2.1.3 Производная проектора Р
2.1.4 Вторая фундаментальная форма в специальных координатах
2.1.5 Кривизна и поле трения в специальных координатах
2.2 Векторное поле сноса
2.2.1 Две естественные меры на трубчатой окрестности
2.2.2 Поле сноса: определение и свойства
2.3 Разложение Ферми непрерывных семимартингалов
2.3.1 Стохастический параллельный перенос
2.3.2 Разложение Ферми непрерывных М£о-значных семимартингалов
3 Поверхностные меры
3.1 Смещенный случайный процесс (уг)
3.1.1 Определение и свойства

3.1.2 Поверхностная мера смещенного процесса
3.2 Соотношение между мерами Ш и д
3.2.1 Эквивалентность мер W и д. Плотность
3.2.2 0(е)-приближение
3.2.3 Приближение плотности бШ/йц
3.3 Основные результаты
3.3.1 Поверхностная мера первого типа
3.3.2 Поверхностная мера второго типа
4 Два частных случая
4.1 Одномерные многообразия
4.1.1 Поверхностные меры для произвольных интервалов времени [0, Т]
4.1.2 Сходимость при Т —> оо
4.2 Случай плоского нормального расслоения
4.2.1 Параллельные многообразия
4.2.2 Разложение оператора Лапласа
5 Дополнение
5.1 Введение в поверхностные меры, порожденные диффузионными процессами
5.2 Введение в поверхностные меры на негладких многообразиях
Список обозначений
Список литературы
Предметный указатель
ГлявВ
1.1 Мотивировка и основные результаты
Изучение поверхностных мер на бесконечномерных пространствах играет важную роль как в теории меры и функциональном анализе, так и в теории случайных процессов. Понятие поверхностной меры является естественным обобщением понятия меры Лебега на поверхности в М”: по мере ß на бесконечномерном пространстве X строится мера ßs, сосредоточенная на достаточно гладкой поверхности S в X, которая находится в том же соответствии с исходной мерой ц, что и мера Лебега на поверхности в R" с обычной мерой Лебега в Rn. Такая мера ßs называется поверхностной мерой на S, порожденной мерой ß в объемлющем пространстве.
Существуют различные способы определения поверхностных мер, порождаемых достаточно гладкими мерами на бесконечномерных пространствах. Первый был предложен A.B. Скороходом ([4]) и затем развит A.B. Углановым ([6]). Затем П. Малявэном ([10]) был предложен другой - альтернативный - способ определения поверхностных мер.
Оба этих подхода обладают общим недостатком - они определяют поверхностные меры только в случае, когда поверхность обладает конечной коразмерностью.
В данной работе изучается случай поверхностей бесконечной коразмерности. В качестве объемлющего пространства рассматривается пространство непрерывных функций СО0([0, l],Rn) со значениями в Мп, равных фиксированному значению йо в нуле. Затем фиксируется гладкое компактное т-мерное риманово многообразие М С Rn без края, содержащее точку йо, и в качестве поверхности в объемлющем пространстве рассматривается пространство непрерывных функций ([0,1], М) С Сао{[0,1],М") со значениями в многообразии. Наконец, в качестве исходной меры на объемлющем пространстве рассматривается мера Винера W, соответствующая стандартному

Глава
Два частных случая
4.1 Одномерные многообразия
Пусть М - одномерное компактное риманово многообразие в R”. Каждое такое многообразие есть ни что иное как замкнутая кривая без самопересечений, на которой определена естественная координата, определяемая длиной дуги. Так как тензор кривизны относительно этой координаты равен нулю, скалярная кривизна одномерных многообразий тождественно равна нулю. Следовательно, по теореме 1 плотность Радона-Никодима поверхностной меры первого типа для таких многообразий задается формулой
dSj = ехР I /о K2(vt)dt dWjtf EWm exp | Д к2 (u>t)dt ’
где к - кривизна кривой М.
В частности, если кривая М является окружностью, то ее кривизна постоянна и, следовательно, поверхностная мера первого типа §i совпадает с мерой Винера Wм4.1.1 Поверхностные меры для произвольных интервалов времени [0,Т]
Напомним, что в предыдущих главах изучались поверхностные меры на пространствах функций, определенных на отрезке [0,1]. Очевидно, что аналогичные определения поверхностных мер можно дать для произвольного отрезка [О, Т], и будут верны теоремы, аналогичные теоремам 1 и 2. В частности, поверхностная мера второго типа Sj, определяемая как слабый предел броуновских движений с отражением на границе <9Ме, определенных до времени Т, совпадает с мерой Винера на пространстве Сао([О, Т], М). Далее,