Поведение ядра Бергмана вблизи границы псевдовыпуклой области

• Автор: Зельдина, Елизавета Григорьевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 112 с.

Оглавление
Введение
Глава 1. Предварительные сведения
Глава 2. Асимптотика ядра Бергмана для (76-гладкой
области
2.1. Формулировка основных результатов
2.2. Биголоморфное отображение
2.3. Функция Я(шо, шог; А, и, г) как голоморфная функция от V
2.4. Начало доказательства Теоремы Г: редукция
2.5. Преобразование вариационной формулы
2.6. Оценка остатка в (2.5.17)
2.7. Вычисление асимптотики 60 Глава 3. Асимптотика ядра Бергмана для ГГ“7-гладкой
области
3.1. Формулировка основных результатов
3.2. Биголоморфное отображение Рг
3.3. Функция о, ^01; А, г, г) как голоморфная функция от V
3.4. Начало доказательства Теоремы 2: редукция
3.5. Преобразование вариационной формулы
3.6. Оценка остатка в (3.5.17)
3.7. Вычисление асимптотики

ТурейЫ Ьу Д,д5-Тр;Х
Введение
Изучение ядер Бергмана в областях Сп имеет долгую историю. Начиная с работ Керзмана [11], Феффермана [7], Буте де Монвеля-Шёст-ранда [5], написанных в начале семидесятых, и далее до конца девяностых, все результаты, касающиеся поведения ядер Бергмана вблизи границы, предполагали С^-гладкость границы. Соответствующие результаты представлены, например, в работах [2-4,б,8,10,12-14,16,19,20]. Возможное асимптотическое разложение ядра Бергмана В^ для ограниченной псевдовыпуклой области Я С С1, п > 2, с С^-гладкой границей в предположении, что 0 = (0,..., 0) € дП и внешняя нормаль к (Ю. в точке 0 направлена по положительной полуоси (ад, 0 ..., 0), для = (-5,0,..., 0), 5 >0, выглядит так ([5]):
Условие С°°-гладкости границы в упомянутых работах (а также в еще большем количестве неупомянутых работ) связано с основной идеей подхода, использовавшегося всеми авторами. Этот подход использует фундаментальную связь между проектором Бергмана (а значит и ядром Бергмана) и 5-оператором Неймана, исследование которого, в свою очередь, требует С^-гладкость границы. Если опустить условие строгой псевдовыпуклости, оставив только условие С'°°-гладкости границы, то при тех же геометрических условиях на расположение области Н в С" изменяется даже первый член асимптотики (1) (или оценки гг), [4], [14]). Существует, однако, новый подход, который поз-

волил получить результаты, касающиеся ядра Бергмана В^(г,г), для строго псевдовыпуклых областей конечной гладкости. Но этот подход работает только для областей близких к шару.
Впервые этот подход был использован в [18]. Он основан на идее получения (при некоторых ограничениях) вариационной формулы для ядер Бергмана для семейства областей (ЛГ. Тогда для конкретной области О, которая предполагается близкой к шару, и для точки г(г), стремящейся к некоторой граничной точке го при г —>■ 1 — 0, мы можем применить подходящее биголоморфное отображение, переводящее г (г) дальше во внутренность области. Образ 12г области О будет стремиться к единичному шару при г —> 1 — 0. Затем мы применим вариационную формулу к областям Пг и единичному шару. Так как области Д. близки к шару, формула даст точный количественный результат.
Подход работы [18] оказалось возможным существенно усовершенствовать. Он был использован для более широкого класса областей, что потребовало новых идей, в частности, для проверки условий вариационной формулы и для преобразований этой формулы с целью получения окончательного результата. Для строго псевдовыпуклых областей, близких к шару и имеющих границу класса (76, автором совместно с Н. А. Широковым было доказано в [1], [15], что имеет место асимптотическое разложение Вп(г$,ъ&) вида
которое согласуется с (1) и по форме двух первых слагаемых, и в порядке роста остатка.

и, следовательно, если |Л^| < р. |ц_,| < р, то неравенства (2.3.18) и (2.3.19) влекут
!»■(<>,А,М)| < '’мИ11^(1_|и.|с|р)„.+1- (2.3.20)
При этом при некоторых условиях на Л^, мы также имеем
У(и,Х)<1/-\Арр. (2.3.21)
Наконец, используя неравенства (2.3.20), (2.3.21), определим г, гц и р: положим т = 1/4, предположим, что р < 1, V < 1/1, где щЦАЦ7 < 1/8, щ < 1. Далее, р такое, что
Ьм1И1|/(1.Д,)М1+1 < (2.3.22)
Отметим, что (2.3.22) влечет более слабое неравенство, которое нам понадобится в дальнейшем
МЛЦ(1.Д)м,+1 < (2.3.23)
Предположим, что
|Ц|рр<1. (2.3.24)
Теперь мы убедимся, что формулы (2.3.22), (2.3.24) и условия на т и позволяют нам воспользоваться Леммой 1.1. В самом деле, в уравнении
С+^С2 + = -иУ{ А), (2.3.25)
из оценок (2.3.20), (2.3.21) и (2.3.23) следует, что
*1с'(ЬЙ = 5|а (2'326)