Инвариантные меры необратимых отображений

• Автор: Ахалая, Шота Иракльевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1983
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 119 c. : ил

ГЛАВА I. ОБ ЭНТРОПИЙНОЙ СТОХАСТИЧНОСТИ НЕОБРАТИМЫХ

ОТОБРАЖЕНИЙ

§ I. Построение инвариантной меры отображений со свойством марковости методом

измеримых сечений

§ 2. Асимптотические свойства итераций

квадратичных отображений

ГЛАВА 2. АБСОЛЮТНО НЕПРЕРЫВНЫЕ ИНВАРИАНТНЫЕ МЕРЫ

НЕСЖИМАВДИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ОКРУЖНОСТИ

ГЛАВА 3. ОБ ОДНОМЕРНОМ ОТОБРАЖЕНИИ, МОДЕЛИВУХЩЕМ

ПРОЦЕСС БУРЕНИЯ

§ I. Об устойчивости неподвижных точек отображения, моделирующего процесс

бурения
§ 2. Существование абсолютно непрерывной инвариантной меры отображения в случае квадратичного профиля р
ЛИТЕРАТУРА

ВЩШРГОТ?.
Настоящая работа относится к одному из активно развиваемых направлении функционального анализа - метрической теории динамических систем. Основы этой теории заложены в работах Биркгофа, фон Неймана, А.Н.Колмогорова. Современное состояние теории динамических систем с инвариантной мерой (эр-годической теории) отражено в монографиях Д.В.Аносова Ы; И.П.Корнфельда, Я.Г.Синая, С.В.Фомина [2] и обзорах [з] ,
Значительный раздел эргодической теории посвящен исследованию свойств стохастичности динамических систем. Имеются различные представления о свойствах стохастичности. Так, например, говорят, что преобразование Т компакта X обнаруживает стохастическое поведение, если на X существует неатомическая ~Т-инвариантная мера, относительно которой преобразование Т обладает, по крайней мере, одним из следующих свойств: I) эргодично или перемешивает в некотором смысле, 2) имеет положительную энтропию, 3) является К -системой. Из вариационного принципа для топологической энтропии следует, что второе (энтропийное) свойство стохастичности совпадает со свойством квазислучайности динамических систем [б]
Один из основных приемов обнаружения стохастического поведения траекторий потоков и обратимых отображений состоит в построении марковской подсистемы. При этом существенным оказывается свойство гиперболичности рассматриваемой динамической системы. Для необратимых отображений марковское свойство

можно сформулировать без предположений о гиперболичности. Представляет интерес исследование энтропийной стохастичности необратимых отображений с марковским свойством. Если же гладкое необратимое отображение обладает гиперболическим инвариантным множеством, то для исследования энтропийной стохастичности его возмущений естественно использовать устойчивость гиперболичности.
Весьма содержательный класс динамических систем с точки зрения исследования их стохастических свойств образуют системы с одномерным фазовым пространством. Для одномерных отображений представляет интерес вопрос о существовании абсолютно непрерывных инвариантных мер. Имеется тесная связь сложного асимптотического поведения итераций одномерных отображений и последовательными бифуркациями их периодических точек. Глубокое исследование в этом направлении выполнено А.Н.Шарковским [б] . Изучение одномерных отображений имеет также и прикладной аспект. Так, например, к исследованию таких отображений приводит одна математическая модель процесса бурения.
Цель работы - исследование свойств (метрической) стохастичности необратимых отображений, обладающих свойством марковости, квадратичных преобразований симплекса и одномерных отображений.
Перейдем к изложению основных результатов диссертации.
Б первой главе исследуется энтропийная стохастичность преобразований метрического компакта, обладающих свойством марковости, и квадратичных преобразований \ -мерного комплекса.
Б § I первой главы предложен новый метод построения
| удовлетворяет следующим условиям:
(а) существует такое разбиение 0=00<^1<**-<^пг 1 отрезка Т , что ограничение отображения на 1САк-.,С!к) продолжается до функции к. класса С на отрезке

(б) все функции возрастают и взаимно однозначно
отображают на I
Поэтому для доказательства теоремы 2.1 достаточно показать, что верна следующая
ТЕОРЕМА 2.2. Если несжимающее отображение отрезка I в себя, удовлетворяющее условиям (а) и (б), растягивает вне неподвижных точек 1= 1,... ,И и в точках выполнены условия (Л+ ) и ( Д ) , то существует абсолютно непрерывная -I -инвариантная мера, которая необходимо бесконечна.
1 I Л +
Доказательство. Предварительно запишем условия
(Л+)
.(А') в виде, удобном для дальнейших выкладок. С этой целью введем интервалы
Аз1 г(||. СоО, Си) АзЛ+1 — С 0 , -|-V)
и докажем следующую лемму.
ЛЕММА 2.1. Для любых точек ^ =21,21+1*,
сумма

ЦПос)!