Оценки ограниченных решений линейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве

• Автор: Синтяев, Юрий Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 93 с.

Оглавление
Введение

1 Основные понятия и используемые результаты

§1.1 Основные функциональные пространства. Некоторые

сведения из теории операторов

§1.2 Сильно непрерывные полугруппы операторов и эво-

люционнные семейства

2 Исследование корректности и обратимости дифференциального оператора первого и второго порядков

§2.1 Корректность дифференциального оператора первого

порядка

§2.2 Оценки ограниченных решений дифференциальных

уравнений второго порядка
3 Разностные операторы в исследовании дифференциальных операторов и оценки решений
§3.1 Оценки обратных операторов
§3.2 Оценки для операторов с постоянными
коэффициентами
§3.3 Исследование слабо нелинейных дифференциальных
уравнений в гильбертовом пространстве

Список обозначений
Z - множество целых чисел;
Ж - множество вещественных чисел;
С - множество комплексных чисел;
М+ = [0, оо);
JJ - один из промежутков [а, Ь], Ж, (—оо, а), [Ь, оо);
X, У - комплексные банаховы пространства;
EndX - банахова алгебра линейных ограниченных операторов, действующих в банаховом пространстве Х
Сь = Сь(Я,Х) - банахово пространство непрерывных и ограниченных на промежутке J G {[а, Ь], (—оо, а), [Ь, оо)} функций со значениями в банаховом пространстве X;
SP = SP(R,X), ре [1, оо) - пространство Степанова локально суммируемых на Ж функций со значениями в банаховом пространстве

X и нормой ||x||s? = sup(J ]|æ(s + t)||pds)1|/p; tes
Lp = LP(S,X), p e [l,oo) - банахово пространство суммируемых со степенью p G [1, оо) на промежутке JT классов функций со значениями в банаховом пространстве X и нормой ||æ||p = (J ||x(i)||paf£)1/p;

Loo = £oo(J> X) - банахово пространство существенно ограниченных
на промежутке J классов функций со значениями в банаховом
пространстве X и нормой ЦхЦоо = vrai sup ||æ(£)||;
te j
Cl(S) = Cl(3,X) - линейное пространство I раз непрерывно дифференцируемых функций на J со значениями в банаховом пространстве х и нормой ||х||с, = £ 1Ик;
|fc|<;
Wp(S) = Wp(JJ, X) - пространство Соболева W(JJ) = {х €

Cl 1(Jf) : xl х — абсолютно непрерывна, х1 Є LP(J)}. Норма функции / Є Wp(J) определяется при помощи равенства |]/ЦиДО) = S]fc|<; ll/fe!kp(J);
I - тождественный оператор в любом из банаховых пространств; р(А) - резольвентное множество оператора А : D(A) Cl-»X;
1тА - образ линейного оператора А;
КегА - ядро линейного оператора А;
7(A) = inf rfJfreLn - инфимум модуля оператора А;
x(zD{A)KerA ' 5 '
сх(А) - спектр оператора А;
Л(-,А) : р(А) —» EndX, Д(А, А) = (А/ — А)-1, А Є р(А) - резольвента линейного оператора А : D{A) сХ-Х;
X = JF(R, X) - одно из пространств ЬР(Ш,Х), Loo(M.,X), Сь(М, X), Со(М,Х), 5P(R,X);
Ip = 2P(Z,X), р Є [1,оо) - банахово пространство двусторонних
последовательностей с элементами в банаховом пространстве X и
нормой ||х||р = (Е ||ж(п)||р)1/*’; n€ Z
/оо == Zoo(Z,X) - банахово пространство двусторонних последовательностей с элементами в банаховом пространстве X и нормой
||х||оо = sup ||ж(п)||;

Т = X(Z, X) - одно из пространств lp(Z, X), ZTO(Z, X);
U : Д —► EndX, где Д = {(i, s) G Е х R : і > s} - семейство эволюционных операторов, т.е. выполнено 1) = I, t Є Ж;
2) U(t,s)U(s,T) = U(t,r), т < s < t] s,t,r Є R; 3) отображение (t, s) ZY(i, s)x : Д —> X непрерывно для любого ж Є X; 4) конечна величина К = sup \U(t, s)||;
0<<-s
Глава
Исследование корректности и обратимости дифференциального оператора первого и второго порядков
§2.1 Корректность дифференциального оператора первого порядка
Для каждого линейного оператора В : D(B) С X —> X рассмотрим величину
7 (В) = inf -JM-, (2.1)
x£D{B)KerB d(x, KerB) где d(x, KerB) = inf ||x — жо||-
xo ЄКсгВ
Определение 2.1. Линейный замкнутый оператор В : D(B) С X —v X называется корректным (или равномерно инъективным), если КегА = {0} и 7(В) > 0 (см. [6]).