К спектральной теории дифференциальных операторов с разрывными коэффициентами

• Автор: Адель, Абдель Фаттах Мустафа Дарвиш
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Баку
• Количество страниц: 99 c. : ил

С ОДЕРЖАНИЕ

ГЛАВА I. ИССЛЕДОВАНИЕ СПЕКТРА И ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВИДА

РАЗЛОЖЕНИЯ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ

ОПЕРАТОРА

§ I Построение специальных решений

§ 2 Построение.резольвенты и.сопряженная.

задача

§ 3 Изучение спектра. Условие конечности

дискретного спектра. Условие отсутствия спектральных особенностей. Условие.от

сутствия дисіфетного спектра

§ 4 Вывод формулы разложения.по.собственным
функциям
Глава II. ТЕОРЕМЫ О РАВНОСХОДИМОСТИ РАЗЛОЖЕНИЯ
ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ ОПЕРАТОРА Ь
§ I Теоремы о равносходимости разложения
функций ИЗ £-1^10 J со) по собственным функциям оператора в случае в <^&)=0
§2 Теоремы о равносходимости разложения
функции ^ZLз£l|(0Jo°)UO собственным функциям оператора в случае 0^(х)фо
ЛИТЕРАТУРА

Известно, что при решении многих задач математической физики возникает необходимость в разложении произвольной функции по решениям дифференциального уравнения второго порядка, конкретнее, в ряд (или интеграл) по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля. Так например, к такого рода вопросам приходят всегда, применяя метод Фурье для нахождения решения дифференциального уравнения в частных производных, удовлетворяющего данным начальным и краевым условиям. Поэтому дифференциальные операторы привлекают большое внимание и имеется много работ, посвященных к изучению дифференциальных операторов. Дифференциальный оператор называется регулярным если область его задания является конечным интервалом и коэффициенты непрерывны. Регулярный случай задачи Штурма-Лиувилля изучен уже сравнительно давно и обычно подробно излагается в руководствах по уравнениям математической физики и интегральным уравнениям.
Спектральный анализ дифференциальных операторов, т.е. исследование спектра и разложение по собственным функциям дифференциального оператора является основным математическим аппаратом при решении многих задач квантовой механики. При этом запросы квантовой механики требуют детального исследования так называемых сингулярных дифференциальных операторов. Такие операторы могут иметь вообще говоря не только дискретный, но и непрерывный спектр. В связи с чем разложение по их собственным функциям в общем случае представляется в виде интеграла

типа Стильтьеса.
Теоретической основой как регулярной, так и сингулярной задачи является общая спектральная теория линейных самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. Однако эта теория проливает свет далеко не на все вопросы теории линейных дифференциальных операторов.
Начало обще теории одномерных линейных дифференциальных операторов было заложено Г.Вейлем [2], который свел проблему к спектральной теории самосопряженных ограниченных интегральных операторов.
Большую роль в привлечении внимания математиков к спектральной теории дифференциальных операторов сыграла монография Е.Ч.Титчмарша [28], в которой дан новый подход к теории сингулярных операторов второго порядка и поставлен, решен целый ряд новых задач. Отметим, что в этой работе доказана теорема о равносходимости разложения по собственным функциям самосопряженного регулярного оператора Штурма-Лиувилля.
В Советской монографической литературе первое изложение спектральной теории для сингулярных самосопряженных операторов второго порядка было дано в работе Б.М.Левитана [13], который тоже предложил новый метод обоснования этой теории. Исследование же спектра и разложение по собственным функциям сингулярных несамосопряженных дифференциальных операторов с непрерывной частью спектра началось сравнительно недавно.
В основополагающей работе М.А.Наймарк [19] получил разложение по собственным функциям оператора, порожденного скалярным уравнением

Так как
тогда

1£ЦЖ)=[&(2&^1£)2$№<&+ ш(Х^&к)3(х)2р(х)ск+
о 1!*о } Я (1#4в8)
н- д(х-^(х)2^1х)ои.
о
Подставляя в левую часть (1.4.4) вместо Ь/ и их выражения (1.4.6) и (1.4.8), получим
оо л90
- [В%фкШШо1х ваушсЬн-
-) № Л
о й

Ь ей °°
_ * Ю$)1£>(х,ьк,)!1*)УМсЬ
0 о <Гс
- к1]*£Ь&£>к) - ЖК$) £}&^$~&(х-%)^Сх)2р(зс)оке.
Тогда ядро резольвенты £кх>Ь$ задачи (Т.3.1)-(1.3.2)
удовлетворяет уравнению
Итак,