Особый интеграл, интеграл типа Коши с непрерывной плотностью и краевая задача Римана

• Автор: Токов, Абдуллах Османович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Баку
• Количество страниц: 93 c. : ил

ГЛАВА I. Предварительные сведения и обозначения

Глава II. Интеграл типа Коши

§ I. Об Основной лемме Привалова И.И. для интегралов типа Коши

§ 2. Необходимые и достаточные условия непрерывности интеграла типа Коши в замкнутой области

Глава III. Особый интеграл

§ I. О теореме Заманского М.М

§ 2. Оценки для особого интеграла

Глава IV. Краевая задача Римана

ЛИТЕРАТУРА

В настоящей работе исследуется особый интеграл Коши, интеграл типа Коши и краевая задача Римана.
В первой главе введены необходимые обозначения и приведены используемые в дальнейшем сведения. Часть этих утверждений доказана, а часть приведена без доказательств с указанием источника, где эти доказательства могут быть найдены.
Все утверждения из этой главы названы леммами, хотя многие приводимые результаты являются довольно значительными достижениями в соответствующих областях. Это, на наш взгляд, оправдано тем, что в данной работе они носят вспомогательный характер.
Утверждения и обозначения имеют двойную нумерацию: первое число показывает номер главы, второе - порядковый номер утверждения или обозначения внутри этой главы.
Во второй главе исследован интеграл типа Коши, который является основным математическим аппаратом при решении непрерывных и кусочно-непрерывных граничных задач теории аналитических функций. '
Пусть Ц' - замкнутая жорданова спрямляемая кривая (з.ж.с.к.), а ( С^. - множество непрерывных на ][ функций).
Рассмотрим интеграл типа Коши
р (г) = — Г- , лёг
2П 1 ? - 2

Важным является вопрос о непрерывной продолжимости на £ (изнутри или извне) функции /Ч?) в зависимости от функции плотности / и кривой интегрирования ^ . Начало исследованиям, посвященным этому вопросу, было положено работами Сохоцкого Ю.В.,

Гарнака A., Племеля И. (см.Г 22 J ).
После основополагающих работ Привалова И.И. (Г23]) и Мусхе-лишвили Н.И. ([22]), сформировался классический результат, подводящий итог всем предыдущим исследованиям: функция F(z) непрерывно продолжима на fr изнутри и извне, если fr - кусочно-гладкая кривая и - множество функций,
удовлетворяющих условию Гельдера с показателем оСе (0,1] ).
В дальнейшем последний результат обобщался в работах Магна-радзе Л.Г. (Г 21] ), Давыдова H.A. ([ 12 ] ), Гегелия Т.Г. ([ 22] )} Бабаева A.A. (С I ],[ 2 ]), Тамразова П.М. ([36 ]), Салаева В.В.
(Г 27]), Геруса О.Ф. ([II ]) и других.
Если, следуя [25] или [ 20 ], ввести следующие обозначения:
ïs(t) = /? е Г) ls-il Qt(S) = mes fo(t) ( mes X обозначает линейную
меру Лебега измеримого множества X с fr ),
Всо = sиР g (S), g a) =g,a)-em),
Uï * * *■
то можно сформулировать наиболее общее достаточное условие непрерывной продолжимости F (2) на fr , полученное независимо друг от друга Дынькиным Е.М. (С 13]) и Салимовым Т.С. (Г29 1): если fr - э.ж.с.к., Су и

рт sup
то Ffe) непрерывно продолжима на fr изнутри и извне и верны

ГГе&)
сходится равномерно на ^ при £-»0
Заметим, что: а) если з.ж.с.к. ^ такова, что ее метрическая характеристика Вт -ОГО , ТО
Тогда теорема 2.3 является следствием теоремы 2.4,
б) если е Ны > °(=*1 , то Vр - з.ж.с.к. следует,
что ( ^ и интеграл
Г А
Л&С«
сходится равномерно на ^ при £-*0 . Откуда, следствием теоремы 2.4 является теорема 3 работы [12 ] , то есть верна ТЕОРЕМА 2.5. Пусть ^ - з.ж.с.к
Тогда интеграл типа Коши
Ж = -1- / -=%
21Г1 В Г-Н
непрерывно продолжим на ^ изнутри и извне и граничные значения выражаются формулами (2.1) и (2.2).
ТЕОРЕМА 2.6. Пусть ^ - з.ж.с.к., Су • Интеграл типа
Коши р(2) непрерывно продолжим на $ изнутри и извне тогда
и только тогда, когда существует неотрицательная функция о1^(Е) такая, что
(ш 0Л>СО =0 {